segunda-feira, 26 de maio de 2014
domingo, 4 de maio de 2014
DETALHES DA QUINTA REGRA MOURA VELHO (BÔNUS)
Esta postagem se destina a
esclarecer detalhes sobre a quinta regra Moura Velho de divisibilidade por 7
apresentada em vídeo, como bônus.
Mudando-se o que deve ser mudado,
esta regra funciona também para a divisibilidade por 13.
ALGORITMO
N = abc; xabc → 7|xa; S = x + bc;
se 7|S então 7|N
O dígito “x” deve ser inserido
mentalmente de maneira a formar com o dígito “a” um múltiplo de 7.
Para números maiores, este
algoritmo deve ser aplicado repetitivamente a cada uma das classes de N. O
inverso aditivo em módulo 7 de cada soma (S) deve ser adicionado ao dígito “x”
da classe seguinte e ao número formado pelos dois dígitos subsequentes. O
procedimento deve ser aplicado até que a última classe de N seja alcançada. Se
7|RF (resultado final) então 7|N. Se a classe inicial tiver menos de três
dígitos o algoritmo deve ser aplicado parcialmente.
PORQUE FUNCIONA
O dígito “x” é equivalente a 2a
mod 7 e bc é equivalente a ( 3b + c ) mod 7. Então a soma dos produtos obtidos
pela aplicação do algoritmo é: SP = 2a + 3b + c e os multiplicadores são
respectivamente: 2, 3 e 1, exatamente os mesmos multiplicadores estabelecidos
por Pascal em seu critério de divisibilidade por 7 (teorema 2.5) aos três
dígitos da classe da unidade, conforme mencionado anteriormente.
A aplicação do inverso aditivo em
módulo 7 a SP tem o seguinte resultado: ─ ( 2a + 3b + c ) mod 7 ≡ 5a + 4b 6c.
Para números maiores, a classe
seguinte é formada pelos dígitos “def”. A aplicação do algoritmo à classe
seguinte tem como resultado SP = 2d + 3e + f e a soma dos produtos referente às duas
classes (abcdef) é SP = 5a + 4b + 6c + 2d + 3e + f cujos multiplicadores são: 5, 4, 6,
2, 3 e 1 que são exatamente os multiplicadores estabelecidos por Pascal quando
criou seu critério de divisibilidade por 7.
Quando o número é composto por
várias classes, a aplicação do inverso aditivo a cada uma das somas obtidas na
passagem de uma classe para outra implica a repetição sucessiva dos
multiplicadores estabelecidos por Pascal em seu critério de divisibilidade por
7:
...31546231546231
A aplicação dessa regra funciona
porque equivale à aplicação em módulo 7 dos multiplicadores estabelecidos por
Pascal em seu critério de divisibilidade por 7. Se 7|RF (resultado final) então
7|N; se 7ƗRF então RF mod 7 é equivalente ao resto da divisão de N por 7.
COMO FUNCIONA E
DETERMINAÇÃO DO RESTO
Os cálculos podem ser efetuados
mentalmente com extrema rapidez. As anotações foram efetuadas apenas para
ilustrar a aplicação da regra.
N = 62.324.452; 62; (6)324; (1)452
─ 62 mod 7 + 6 + 24 = 31; ─ 31
mod 7 + 1 + 52 = 57; 7Ɨ57 e 7ƗN; RF = 57; 57 mod 7 ≡ 1 = resto da divisão de N
por 7.
N = 362.458.923.312; (6)362;
(1)458; (4)923; (6)312
6 + 62 = 68; ─ 68 mod 7 + 1 + 58
= 61; ─ 61 mod 7 + 4 + 23 = 29; ─ 29 mod
7 + 6 + 12 = 24; 7Ɨ24 e 7ƗN; RF = 24;
24 mod 7 ≡ 3 = resto da divisão de N por
7.
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