Autor: Silvio Moura
Velho (pesquisador independente)
A História da Teoria dos Números
registra a criação de várias regras matemáticas para verificar se um número é
divisível por 7, mas não registra a criação de uma única regra de
divisibilidade por 7, de acordo com a seguinte definição:
“Uma regra de divisibilidade é
uma forma abreviada de determinar se
um dado número é divisível por um divisor fixo sem efetuar a divisão,
geralmente pelo exame de seus dígitos. (gn)” (Wikipédia)
Neste ponto, é útil acrescentar a
seguinte definição: “Uma regra matemática é um método ou procedimento que
descreve como resolver um problema. ” (Pennsylvania Department of Education
Standards Aligned Systems)
Se as definições acima mencionadas
são corretas, somente regras matemáticas aplicadas com rapidez (forma
abreviada) se encaixam na definição de regra de divisibilidade.
O famoso escritor sobre questões
matemáticas, o norte americano Martin Gardner, considerado “o melhor amigo da Matemática” e
escreveu durante 25 anos a coluna “Mathematical Games” para a revista “Scientific
American”, assim se expressou em seu livro “Unexpected Hanging” após haver
abordado o tema regras de divisibilidade:
“O leitor certamente observou uma
omissão singular entre as regras apresentadas. Como alguém pode testar a
divisibilidade por 7, o número divino da numerologia medieval? Este é o único
dígito para o qual ninguém descobriu ainda uma única regra. O comportamento
desordenado do número 7 há tempo tem fascinado os estudantes da teoria dos
números. Dezenas de testes curiosos têm sido concebidos, todos aparentemente
não relacionados entre si; todos, infelizmente, consomem quase o mesmo tempo
que o procedimento ortodoxo da divisão”.
A página: http://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_rule
apresenta uma variedade significativa de regras matemáticas utilizadas para
verificar se um número é divisível por 7, mas nenhuma dessas regras se encaixa
na definição específica de “regra de divisibilidade” contida na página
mencionada. Todas as regras mencionadas são aplicadas com muita lentidão e se
afastam da definição específica de regra de divisibilidade, apesar de serem
regras matemáticas.
O primeiro registro de uma regra
matemática de divisibilidade por 7 está contido no Talmude, livro sagrado dos
judeus, de acordo com os historiadores. Isto significa que o primeiro esboço de
uma regra de divisibilidade por 7 teve início há aproximadamente dois milênios.
Como até o momento a comunidade matemática está dividida sobre a existência ou
não de uma regra de divisibilidade por 7, conclui-se que, apesar de elementar,
este é um problema muito difícil.
Alguns matemáticos divulgam, ora
como truque, ora como regra, um procedimento que, bem analisado, não é uma
coisa nem outra.
Vejamos como Martin Gardner se
refere a esse procedimento, que é o mais divulgado em sites de matemática:
“Um teste bizarro de
divisibilidade por 7, atribuído a D. S. Spence, surgiu em 1956 em “The
Mathematical Gazette (outubro, página 215). O método retroage a 1861; leia L.E.
Dickson, History of The Theory Of Numbers, Vol. 1, página 339, em que esse
teste é creditado a A. Zbikovski da Rússia.): Remova o último dígito,
multiplique-o por dois, subtraia o resultado do número original truncado e
continue o procedimento até que reste apenas um dígito. O número original é
divisível por 7 se e apenas se o dígito final for igual a zero ou 7.”
Na realidade, esse teste passou a
ser utilizado até a redução do número testado a um número de dois dígitos.
O procedimento não pode ser
considerado um truque porque a explicação de por que ele funciona é de uma
elementaridade extraordinária: o dobro de um número de um dígito (dezena ou
dezena e centena) sempre forma com esse dígito (unidade) um número múltiplo de
7.
Exemplos: 1 . 2 = 2 → 21; 2 . 2 =
4 → 42; 3 . 2 = 6 → 63 …
... 6 . 2 = 126; 8 . 2 = 16 → 168 etc.
Então o “segredo” do procedimento
consiste em subtrair sucessivamente números múltiplos de 7 do número original;
se após essa sequência de subtrações restar um número múltiplo de 7 é evidente
que o número testado é múltiplo de 7. Um truque sem segredo não é truque!
O PROCEDIMENTO PROCEDIMENTO
PARALELO
N = 23.964 N = 23.964
─ 84 → 7|84 ─ 14 → 7|14
23.880 23.950 ─ 1.680 → 7|1.680 ─ 350 → 7|350
22,200 23,600
─ 4.200 → 7|4.200 ─ 5.600 → 7|5.600
18.000 18.000
É importante observar que o
procedimento consiste em subtrair sucessivamente do número testado múltiplos de
7, até ser obtido um número de dois dígitos.
O procedimento paralelo dispensa
a multiplicação por dois; necessita apenas da dedução do dígito que forma com o
dígito excluído um múltiplo de 7. É mais simples e possivelmente mais rápido,
apesar de eliminar somente um dígito em cada aplicação. Esse procedimento foi recusado pelos estudiosos do assunto porque é evidente que sua simplicidade não
iludiria ninguém.
O procedimento indubitavelmente é
uma regra matemática para verificar a divisibilidade de um número por 7, mas
por ser aproximadamente tão lento quanto efetuar a própria divisão de um número
por 7, não se enquadra na definição específica de “regra de divisibilidade”
porque evidentemente não consiste em uma “forma abreviada” de efetuar o teste,
principalmente em relação a números grandes.
Um bom exemplo dessa lentidão
consiste na aplicação do procedimento ao número de dez dígitos: N =
3.218.576.816 e, em seguida efetuar a divisão desse número por 7, na forma
ortodoxa. Uma regra de divisibilidade verdadeira é sempre uma forma abreviada
de verificação independentemente da constituição e da quantidade de dígitos do
número testado. Mais adiante o número indicado será objeto da aplicação de uma
regra que se encaixa na definição de “regra de divisibilidade” criada por mim
no ano de 2008.
A comunidade matemática costuma
ser rigorosa e apegada a definições. Parece que, no caso de uma regra de
divisibilidade por 7, o rigor costumeiro foi abandonado. O que é mais
constrangedor? Adotar uma falsa regra (truque?) ou admitir a inexistência de
uma regra verdadeira? Muitos sites especializados em Matemática adotaram a
segunda alternativa. Isto é fácil de confirmar digitando em um site de busca as
palavras: “divisibility by 7” e “no rule”; a busca em inglês produz uma maior
quantidade de resultados.
Aproximadamente no ano de 1992
iniciei minha pesquisa para criar uma regra de divisibilidade por 7. Foi quando
aprendi uma regra de divisibilidade tão demorada quanto as demais, mas menos
divulgada. Tive a intuição de que seria capaz de criar uma regra mais rápida e
iniciei meus estudos. Interrompi minha pesquisa várias vezes, mas sempre a
retomei.
Tentei uma abordagem diferente
daquela que os estudiosos haviam adotado na criação de suas regras. As regras
criadas em dois milênios de história geralmente estão baseadas em algoritmos
que eliminam apenas um dígito de cada vez, ou em procedimentos complicados e
extremamente morosos.
Minhas regras, que denomino “Regras
Moura Velho” de divisibilidade por 7 são sempre aplicadas com maior rapidez e
simplicidade porque eliminam dois ou mais dígitos em cada aplicação do
respectivo algoritmo.
No ano de 2005 criei e divulguei
a primeira “Regra Moura Velho” de divisibilidade por 7, que se enquadra na
definição específica de “regra de divisibilidade”, que considero a primeira
regra de divisibilidade por 7 da História da Teoria dos Números. Divulguei um
vídeo dessa regra no site da Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=plRO-L_0cto
Nos anos seguintes criei novas
“Regras Moura Velho” de divisibilidade por 7, sendo que no ano de 2008 criei a
regra que considero a mais simples e rápida. Mudando o que deve ser mudado, essa
regra funciona também para verificar a divisibilidade de um número por 11 ou
13. Minha última regra (derivada daquela) que foi criada em 2013 é um pouco
mais complexa, mas é igualmente rápida. Essas duas regras podem ser vistas,
juntamente com outras, através de vídeo divulgado no site da Vimeo: https://vimeo.com/92571509
As Regras Moura Velho de
divisibilidade por 7 foram todas incluídas (com exceção da última) em um livro
ainda inédito e registrado junto ao INPI sob o título: “Divisibilidade por 7: o
Fim de um Mito?”
Este é o algoritmo correspondente
à regra criada em 2008:
N = a.bcd; a’ ≡ ( ─ cd mod 7 + a
) mod 7 → a’b; se 7|a’b então 7|N
Para números maiores, os dois
últimos dígitos são eliminados e abcd se desloca para a esquerda até que o
último par de dígitos à esquerda seja alcançado. Se o último par de dígitos à
esquerda estiver incompleto, um zero deve ser mentalmente acrescentado para
suprir a ausência do dígito “a”. Se o resultado final a’b for divisível por 7
então o número testado é também um múltiplo de 7.
─ cd mod 7 é o inverso aditivo de
cd em módulo 7 que corresponde à diferença entre cd e o número múltiplo de 7
imediatamente superior.
Ex: ─ 12 mod 7 ≡ 2; na linguagem comum: 12 para 14
é igual a 2.
Porque funciona:
Este algoritmo funciona porque ─
cd mod 7 ≡ 6 cd mod 7 que é adicionado à casa do milhar: + 6.000 cd. Como cd é eliminado
(casas da dezena e da unidade), o processo resulta em uma adição de 6.000 cd e
uma subtração de cd: 6.000 cd ─ cd = 5.999 cd. Como 7|5.999 o valor de N em
módulo 7 é preservado em cada aplicação do algoritmo. Para comprovar este fato
é necessário substituir cada par de dígitos eliminado por zeros.
Obs.: ─ n mod x ≡ ( x ─ 1 ) . n
mod x para ∀ n
e ∀
x.
Como funciona essa regra, através
de um exemplo numérico:
N = 3.218.576.816
Este é o número mencionado
anteriormente.
O algoritmo pode ser aplicado
repetitivamente da direita para a esquerda, com extrema rapidez e precisão,
exclusivamente através de cálculos mentais, sem a necessidade da utilização de
qualquer anotação.
Os passos referentes à aplicação
da regra serão descritos através da linguagem comum, para facilitar o
entendimento.
Passo 1: 16 para 21 = 5; 5 + 6 ─
7 = 4 → 32185748
Passo 2: 48 para 49 = 1; 1 + 5 =
6 → 321867
Passo 3: 67 para 70 = 3; 3 + 1 = 4
→ 3248
Passo 4: 48 para 49 = 1; 1 + 3 = 4
→ 42; 7|42 e 7|N
O resultado final (RF) = 42
A determinação do resto (r) da
divisão de N por 7:
Se 7ƗN, para determinar o resto,
é necessário efetuar a contagem do número de pares de dígitos (n) que
constituem N e realizar a subtração: n ─ 1.
Se ( n ─ 1 ) mod 3 ≡ 0; r ≡ RF
mod 7
Se ( n ─ 1 ) mod 3 ≡ 1; r ≡ 2 .
RF mod 7
Se ( n ─ 1 ) mod 3 ≡ 2; r ≡ 4 .
RF mod 7
Em 1654 Pascal divulgou seu
critério de divisibilidade por 7 (teorema 2.5) que consiste em multiplicar cada
dígito de um número pela seguinte sequência de multiplicadores:
...231546231
A multiplicação de RF por 1, 2 ou
4 mod 7 para a determinação do resto da divisão de N por 7 se fundamenta na
sequência de multiplicadores correspondentes a cada dígito da unidade de cada
par de dígitos (sublinhado), da direita para a esquerda.
Exemplo: N = 82.324.544
Passo 1 : 44 para 49 = 5; 5 + 4 ─
7 = 2 → 823225
Passo 2 : 25 para 28 = 3; 3 + 3 =
6 → 8262
Passo 3 : 62 para 63 = 1; 1 + 8 ─
7 = 2 → 22; 7Ɨ22 e 7ƗN
Determinação do resto: n = 4; ( 4
─ 1 ) mod 3 ≡ 0; então r = RF mod 7 → 22 mod 7 ≡ 1
O resto da divisão de N por 7 é
igual a 1.
Dou por encerrada a apresentação
de minha Regra Moura Velho de divisibilidade por 7 predileta. Ela foi escolhida
porque seu algoritmo é facilmente aprendido e sua aplicação é extremamente
rápida e precisa. Todavia, qualquer Regra Moura Velho de divisibilidade por 7 é
mais rápida do que qualquer regra matemática criada por outros pesquisadores ao
longo de dois milênios de história.
Espero que a comunidade
matemática acolha as Regras Moura Velho de divisibilidade por 7 por uma questão
de justiça e reconhecimento ao enorme trabalho de pesquisa que realizei ao
longo de aproximadamente vinte anos. Como a Ciência Matemática não tem ego, ela
já acolheu as Regras Moura Velho de divisibilidade por 7.
