terça-feira, 22 de julho de 2014

FALSO TRUQUE OU FALSA REGRA?


DIVISIBILIDADE POR 7

TRUQUE OU REGRA?

Em 1860 o matemático russo Zbikowski apresentou um critério de divisibilidade por 7 que se tornou o procedimento mais divulgado  entre os matemáticos, ora referido como regra, ora como truque.


Esse critério funciona assim: “eliminar o dígito da unidade de um número, multiplicar esse dígito por dois e subtrair o resultado do restante do número”.


Um número composto por qualquer unidade cuja dezena (centena/dezena) seja o dobro dessa unidade corresponde a um número múltiplo de sete.


Quando a unidade é 1(21), 2(42) ou 3(63) a constatação é imediata porque 21, 42 e 63 são produtos diretos da tabuada do 7.


Quando a unidade é 4(84), 5(105), 6(126), 8(168) e 9 (189), os produtos obtidos são todos equivalentes em módulo 7, a produtos da tabuada do 7:


84 mod 7 ≣ 14, 105 mod 7 ≣ 35, 126 mod ≣ 56,
        168 mod 7 ≣ 28 e 189 mod 7 ≣ 49


A conclusão óbvia é a de que, em vez de efetuar a multiplicação por dois e subtrair, é mais simples e rápido efetuar a subtração do dígito da dezena da tabuada do sete correspondente ao dígito eliminado.


Na utilização do dígito da dezena da tabuada do sete não há a neces- sidade de efetuar a multiplicação por dois e o subtraendo sempre é um número de apenas um dígito (subtração mais rápida).


Um truque, ou regra, tem a finalidade de tornar mais simples e rápido um procedimento que, sem esse recurso, seria difícil e demorado. Sob este aspecto o critério de divisibilidade por sete criado por Zbikowski, apesar de amplamente aceito nos meios matemáticos, não é truque nem regra.


Os dois procedimentos, multiplicar por dois e subtrair ou subtrair o dígito da dezena da tabuada do sete, são igualmente simplórios e é digno de nota o fato de a comunidade matemática ter aceitado, desde 1860, um falso truque de divisibilidade, sem qualquer restrição.


Isto confirma uma característica notável do meio matemático: muitas vezes a embalagem se sobrepõe ao conteúdo. A demonstração (embalagem) elaborada por Zbikowski é melhor do que o procedimento (conteúdo) que ele criou.

                É tamanho o efeito que esse falso truque (regra?) exerce sobre os matemáticos que muitos relutarão em aceitar a argumentação apresentada. Nada melhor do que fatos para convencer os matemáticos relutantes, mas bem intencionados.

Observe a aplicacão de ambos os procedimentos ao seguinte número:
   
                 N = 3.218.576.816 3.218.576.816
                                     12                                  5
                                  6.69                                  76
                                    1.8                                    5
                                74.8                                 6.2
                                16                                    4
  558                                  72
                              16                                     4
        839                                   853
        18                                     6
                           165                                179
      10                                 4
                         206                                   213
                         12                                       6
                       308                                   315
                       16                                       3
                       14                                 28

O mesmo número submetido à aplicação de uma regra Moura Velho cujo algoritmo é: N = a.bcd; N’ ( − cd mod 7 + a ) mod 7; se 7|N’ então 7|N. Em cada aplicação cd é eliminado e abcd se desloca da direita para a esquerda.

               N = 3.218.576.816
                                4
                            6
                        4
                     42

                16 para 21 = 5; 5 + 6 − 7 = 4;
48 para 49 = 1; 1 + 5 = 6
67 para 70 = 3; 3 + 1 = 4
48 para 49 = 1; 1 + 3 = 2 42; 7|42 e 7|N

              Assista ao vídeo comparativo da aplicação do falso truque de Zbikowski, o procedimento que utiliza a tabuada do 7 e a Regra Moura Velho de Divisibilidade por 7.


Durante mais de um século e meio muitos matemáticos têm se iludido com o falso truque de divisibilidade por 7 que foi definido como bizarro por Martin Gardner (Unexpected Hanging) e ignorado por Isaac Asimov (Quick And Easy Math), que confessa não ter conseguido elaborar uma regra de divisibilidade por 7, esclarecendo que a melhor maneira de afirmar se um número é divisível por 7 é efetuando a operação da divisão; ele considera isto péssimo, mas desde que as regras inexistem apenas para um número de um dígito, entre dez, que não devemos nos lamentar.


Os mesmos matemáticos, que adotaram a falsa regra, têm ignorado há aproximadamente dez anos as Regras Moura Velho de Divisibilidade por 7, que são as primeiras regras criadas em dois milênios de história que se enquadram na seguinte definição de “regra de divisibilidade”:

“Uma regra de divisibilidade é uma forma abreviada de determinar se um dado número é divisível por um divisor fixo sem efetuar a divisão, geralmente pelo exame de seus dígitos.” (Wikipedia)


A incapacidade de criar uma regra de divisibilidade por 7 é aceitável, pois até um cientista da envergadura de Isaac Asimov confessou-a através do livro citado; imperdoável é a incompetência de reconhecer, ou contestar, a validade de uma regra de divisibilidade por 7 criada por um matemático amador.