CALCULADORA VERSUS REGRA MOURA VELHO

DESAFIO

CALCULADORA VERSUS REGRA MOURA VELHO

Este é o link de um vídeo que postei hoje no Youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=1RrP_TGRu2M

O internauta é desafiado a verificar a divisibilidade por 7 de um número composto por muitos dígitos mais rapidamente do que a aplicação da regra, que se inicia imediatamente após a geração desse número.

Este é o número gerado:

N = 5.166.154.084.571.567

Passo a apresentar todos os passos utilizados para a aplicação da regra, a cada um dos pares de dígitos da direita para a esquerda:

1) 67 para 70 = 3; 3 + 1 = 4 → 45; 67 foi eliminado.

2) 45 para 49 = 4; 4 + 5 − 7 = 2 → 27; 45 foi eliminado.

3) 27 para 28 = 1; 1 + 8 − 7 = 2 → 24; 27 foi eliminado.

4) 24 para 28 = 4; 4 + 4 − 7 = 1 → 10; 24 foi eliminado.

5) 10 para 14 = 4; 4 + 1 = 5 → 55; 10 foi eliminado.

6) 55 para 56 = 1; 1 + 6 − 7 = 0 → 06; 55 foi eliminado.

7) 6 para 7 = 1; 1 + 5 = 6 → 61; 7∤61 e 7∤N

O procedimento consiste em calcular a diferença entre o valor do número formado pelo último par de dígitos de N e o múltiplo de sete imediatamente superior, adicionando o valor obtido à dezena do par de dígitos à esquerda. O procedimento deve ser aplicado repetitivamente a cada par de dígitos, sempre eliminando o último par de dígitos em cada aplicação. No final restará um único par de dígitos. Se o número formado por esse par de dígitos for um múltiplo de sete, o número testado também o é. Caso contrário, é necessário determinar o valor do resto da divisão de N por 7.

As subtrações do número 7 são opcionais. Há pessoas que têm facilidade de operar com múltiplos de sete maiores do que 77; neste caso as subtrações são desnecessárias.

Para a determinação do valor do resto da divisão é necessário multiplicar o resultado final obtido por 1, 2 ou 4 mod 7. No caso do número testado, o resultado final foi 61, que multiplicado por 2 mod 7 é equivalente a 3, que é o resto da divisão de N por 7.

Há postagens anteriores que explicam com detalhes a aplicação desta regra, inclusive a determinação do resto da divisão.

A utilização da linguagem comum torna mais rápida a aplicação da regra.

"67 para 70" (linguagem comum) é equivalente a − 67 mod 7, que é o inverso aditivo mod 7 de 67.

FALSO TRUQUE OU FALSA REGRA?

DIVISIBILIDADE POR 7

TRUQUE OU REGRA?

Em 1860 o matemático russo Zbikowski apresentou um critério de divisibilidade por 7 que se tornou o procedimento mais divulgado  entre os matemáticos, ora referido como regra, ora como truque.

Esse critério funciona assim: “eliminar o dígito da unidade de um número, multiplicar esse dígito por dois e subtrair o resultado do restante do número”.

Um número composto por qualquer unidade cuja dezena (centena/dezena) seja o dobro dessa unidade corresponde a um número múltiplo de sete.

Quando a unidade é 1(21), 2(42) ou 3(63) a constatação é imediata porque 21, 42 e 63 são produtos diretos da tabuada do 7.

Quando a unidade é 4(84), 5(105), 6(126), 8(168) e 9 (189), os produtos obtidos são todos equivalentes em módulo 7, a produtos da tabuada do 7:

84 mod 7 ≣ 14, 105 mod 7 ≣ 35, 126 mod ≣ 56,
        168 mod 7 ≣ 28 e 189 mod 7 ≣ 49

A conclusão óbvia é a de que, em vez de efetuar a multiplicação por dois e subtrair, é mais simples e rápido efetuar a subtração do dígito da dezena da tabuada do sete correspondente ao dígito eliminado.

Na utilização do dígito da dezena da tabuada do sete não há a neces- sidade de efetuar a multiplicação por dois e o subtraendo sempre é um número de apenas um dígito (subtração mais rápida).

Um truque, ou regra, tem a finalidade de tornar mais simples e rápido um procedimento que, sem esse recurso, seria difícil e demorado. Sob este aspecto o critério de divisibilidade por sete criado por Zbikowski, apesar de amplamente aceito nos meios matemáticos, não é truque nem regra.

Os dois procedimentos, multiplicar por dois e subtrair ou subtrair o dígito da dezena da tabuada do sete, são igualmente simplórios e é digno de nota o fato de a comunidade matemática ter aceitado, desde 1860, um falso truque de divisibilidade, sem qualquer restrição.

Isto confirma uma característica notável do meio matemático: muitas vezes a embalagem se sobrepõe ao conteúdo. A demonstração (embalagem) elaborada por Zbikowski é melhor do que o procedimento (conteúdo) que ele criou.

                É tamanho o efeito que esse falso truque (regra?) exerce sobre os matemáticos que muitos relutarão em aceitar a argumentação apresentada. Nada melhor do que fatos para convencer os matemáticos relutantes, mas bem intencionados.

Observe a aplicacão de ambos os procedimentos ao seguinte número:
   
                 N = 3.218.576.816 3.218.576.816
                                     12                                  5
                                  6.69                                  76
                                    1.8                                    5
                                74.8                                 6.2
                                16                                    4
  558                                  72
                              16                                     4
        839                                   853
        18                                     6
                           165                                179
      10                                 4
                         206                                   213
                         12                                       6
                       308                                   315
                       16                                       3
                       14                                 28

O mesmo número submetido à aplicação de uma regra Moura Velho cujo algoritmo é: N = a.bcd; N’ ≣ ( − cd mod 7 + a ) mod 7; se 7|N’ então 7|N. Em cada aplicação cd é eliminado e abcd se desloca da direita para a esquerda.

               N = 3.218.576.816
                                4
                            6
                        4
                     42

                16 para 21 = 5; 5 + 6 − 7 = 4;
48 para 49 = 1; 1 + 5 = 6
67 para 70 = 3; 3 + 1 = 4
48 para 49 = 1; 1 + 3 = 2 → 42; 7|42 e 7|N

              Assista ao vídeo comparativo da aplicação do falso truque de Zbikowski, o procedimento que utiliza a tabuada do 7 e a Regra Moura Velho de Divisibilidade por 7.

Durante mais de um século e meio muitos matemáticos têm se iludido com o falso truque de divisibilidade por 7 que foi definido como bizarro por Martin Gardner (Unexpected Hanging) e ignorado por Isaac Asimov (Quick And Easy Math), que confessa não ter conseguido elaborar uma regra de divisibilidade por 7, esclarecendo que a melhor maneira de afirmar se um número é divisível por 7 é efetuando a operação da divisão; ele considera isto péssimo, mas desde que as regras inexistem apenas para um número de um dígito, entre dez, que não devemos nos lamentar.

Os mesmos matemáticos, que adotaram a falsa regra, têm ignorado há aproximadamente dez anos as Regras Moura Velho de Divisibilidade por 7, que são as primeiras regras criadas em dois milênios de história que se enquadram na seguinte definição de “regra de divisibilidade”:

“Uma regra de divisibilidade é uma forma abreviada de determinar se um dado número é divisível por um divisor fixo sem efetuar a divisão, geralmente pelo exame de seus dígitos.” (Wikipedia)

A incapacidade de criar uma regra de divisibilidade por 7 é aceitável, pois até um cientista da envergadura de Isaac Asimov confessou-a através do livro citado; imperdoável é a incompetência de reconhecer, ou contestar, a validade de uma regra de divisibilidade por 7 criada por um matemático amador.

DIVISIBILIDADE POR 7 - UMA ABORDAGEM DIFERENTE

Autor: Silvio Moura Velho (pesquisador independente)

A História da Teoria dos Números registra a criação de várias regras matemáticas para verificar se um número é divisível por 7, mas não registra a criação de uma única regra de divisibilidade por 7, de acordo com a seguinte definição:

“Uma regra de divisibilidade é uma forma abreviada de determinar se um dado número é divisível por um divisor fixo sem efetuar a divisão, geralmente pelo exame de seus dígitos. (gn)” (Wikipédia)

Neste ponto, é útil acrescentar a seguinte definição: “Uma regra matemática é um método ou procedimento que descreve como resolver um problema. ” (Pennsylvania Department of Education Standards Aligned Systems)

Se as definições acima mencionadas são corretas, somente regras matemáticas aplicadas com rapidez (forma abreviada) se encaixam na definição de regra de divisibilidade.

 

O famoso escritor sobre questões matemáticas, o norte americano Martin Gardner,  considerado “o melhor amigo da Matemática” e escreveu durante 25 anos a coluna “Mathematical Games” para a revista “Scientific American”, assim se expressou em seu livro “Unexpected Hanging” após haver abordado o tema regras de divisibilidade:

 

“O leitor certamente observou uma omissão singular entre as regras apresentadas. Como alguém pode testar a divisibilidade por 7, o número divino da numerologia medieval? Este é o único dígito para o qual ninguém descobriu ainda uma única regra. O comportamento desordenado do número 7 há tempo tem fascinado os estudantes da teoria dos números. Dezenas de testes curiosos têm sido concebidos, todos aparentemente não relacionados entre si; todos, infelizmente, consomem quase o mesmo tempo que o procedimento ortodoxo da divisão”.

 

A página:  http://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_rule apresenta uma variedade significativa de regras matemáticas utilizadas para verificar se um número é divisível por 7, mas nenhuma dessas regras se encaixa na definição específica de “regra de divisibilidade” contida na página mencionada. Todas as regras mencionadas são aplicadas com muita lentidão e se afastam da definição específica de regra de divisibilidade, apesar de serem regras matemáticas.

 

O primeiro registro de uma regra matemática de divisibilidade por 7 está contido no Talmude, livro sagrado dos judeus, de acordo com os historiadores. Isto significa que o primeiro esboço de uma regra de divisibilidade por 7 teve início há aproximadamente dois milênios. Como até o momento a comunidade matemática está dividida sobre a existência ou não de uma regra de divisibilidade por 7, conclui-se que, apesar de elementar, este é um problema muito difícil.

 

Alguns matemáticos divulgam, ora como truque, ora como regra, um procedimento que, bem analisado, não é uma coisa nem outra.

 

Vejamos como Martin Gardner se refere a esse procedimento, que é o mais divulgado em sites de matemática:

 

“Um teste bizarro de divisibilidade por 7, atribuído a D. S. Spence, surgiu em 1956 em “The Mathematical Gazette (outubro, página 215). O método retroage a 1861; leia L.E. Dickson, History of The Theory Of Numbers, Vol. 1, página 339, em que esse teste é creditado a A. Zbikovski da Rússia.): Remova o último dígito, multiplique-o por dois, subtraia o resultado do número original truncado e continue o procedimento até que reste apenas um dígito. O número original é divisível por 7 se e apenas se o dígito final for igual a zero ou 7.”

 

Na realidade, esse teste passou a ser utilizado até a redução do número testado a um número de dois dígitos.

 

O procedimento não pode ser considerado um truque porque a explicação de por que ele funciona é de uma elementaridade extraordinária: o dobro de um número de um dígito (dezena ou dezena e centena) sempre forma com esse dígito (unidade) um número múltiplo de 7.

 

Exemplos: 1 . 2 = 2 → 21; 2 . 2 = 4 → 42; 3 . 2 = 6 → 63 … 

... 6 . 2 = 126; 8 . 2 = 16 → 168 etc.

 

Então o “segredo” do procedimento consiste em subtrair sucessivamente números múltiplos de 7 do número original; se após essa sequência de subtrações restar um número múltiplo de 7 é evidente que o número testado é múltiplo de 7. Um truque sem segredo não é truque!

 

O PROCEDIMENTO                     PROCEDIMENTO

                                                                 PARALELO

   N = 23.964                                           N = 23.964

             ─ 84 → 7|84                                       ─ 14 → 7|14          

         23.880                                                 23.950                                      ─ 1.680 → 7|1.680                                 ─ 350 → 7|350

         22,200                                                23,600                        

        ─ 4.200 → 7|4.200                           ─  5.600 → 7|5.600 

         18.000                                                 18.000

É importante observar que o procedimento consiste em subtrair sucessivamente do número testado múltiplos de 7, até ser obtido um número de dois dígitos.

 

O procedimento paralelo dispensa a multiplicação por dois; necessita apenas da dedução do dígito que forma com o dígito excluído um múltiplo de 7. É mais simples e possivelmente mais rápido, apesar de eliminar somente um dígito em cada aplicação. Esse procedimento foi recusado pelos estudiosos do assunto porque é evidente que sua simplicidade não iludiria ninguém.

 

 

O procedimento indubitavelmente é uma regra matemática para verificar a divisibilidade de um número por 7, mas por ser aproximadamente tão lento quanto efetuar a própria divisão de um número por 7, não se enquadra na definição específica de “regra de divisibilidade” porque evidentemente não consiste em uma “forma abreviada” de efetuar o teste, principalmente em relação a números grandes.

 

Um bom exemplo dessa lentidão consiste na aplicação do procedimento ao número de dez dígitos: N = 3.218.576.816 e, em seguida efetuar a divisão desse número por 7, na forma ortodoxa. Uma regra de divisibilidade verdadeira é sempre uma forma abreviada de verificação independentemente da constituição e da quantidade de dígitos do número testado. Mais adiante o número indicado será objeto da aplicação de uma regra que se encaixa na definição de “regra de divisibilidade” criada por mim no ano de 2008.

 

A comunidade matemática costuma ser rigorosa e apegada a definições. Parece que, no caso de uma regra de divisibilidade por 7, o rigor costumeiro foi abandonado. O que é mais constrangedor? Adotar uma falsa regra (truque?) ou admitir a inexistência de uma regra verdadeira? Muitos sites especializados em Matemática adotaram a segunda alternativa. Isto é fácil de confirmar digitando em um site de busca as palavras: “divisibility by 7” e “no rule”; a busca em inglês produz uma maior quantidade de resultados.

 

Aproximadamente no ano de 1992 iniciei minha pesquisa para criar uma regra de divisibilidade por 7. Foi quando aprendi uma regra de divisibilidade tão demorada quanto as demais, mas menos divulgada. Tive a intuição de que seria capaz de criar uma regra mais rápida e iniciei meus estudos. Interrompi minha pesquisa várias vezes, mas sempre a retomei.

 

Tentei uma abordagem diferente daquela que os estudiosos haviam adotado na criação de suas regras. As regras criadas em dois milênios de história geralmente estão baseadas em algoritmos que eliminam apenas um dígito de cada vez, ou em procedimentos complicados e extremamente morosos.

 

Minhas regras, que denomino “Regras Moura Velho” de divisibilidade por 7 são sempre aplicadas com maior rapidez e simplicidade porque eliminam dois ou mais dígitos em cada aplicação do respectivo algoritmo.

 

No ano de 2005 criei e divulguei a primeira “Regra Moura Velho” de divisibilidade por 7, que se enquadra na definição específica de “regra de divisibilidade”, que considero a primeira regra de divisibilidade por 7 da História da Teoria dos Números. Divulguei um vídeo dessa regra no site da Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=plRO-L_0cto

 

Nos anos seguintes criei novas “Regras Moura Velho” de divisibilidade por 7, sendo que no ano de 2008 criei a regra que considero a mais simples e rápida. Mudando o que deve ser mudado, essa regra funciona também para verificar a divisibilidade de um número por 11 ou 13. Minha última regra (derivada daquela) que foi criada em 2013 é um pouco mais complexa, mas é igualmente rápida. Essas duas regras podem ser vistas, juntamente com outras, através de vídeo divulgado no site da Vimeo: https://vimeo.com/92571509

 

As Regras Moura Velho de divisibilidade por 7 foram todas incluídas (com exceção da última) em um livro ainda inédito e registrado junto ao INPI sob o título: “Divisibilidade por 7: o Fim de um Mito?”

 

Este é o algoritmo correspondente à regra criada em 2008:

 

N = a.bcd; a’ ≡ ( ─ cd mod 7 + a ) mod 7 → a’b; se 7|a’b então 7|N

 

Para números maiores, os dois últimos dígitos são eliminados e abcd se desloca para a esquerda até que o último par de dígitos à esquerda seja alcançado. Se o último par de dígitos à esquerda estiver incompleto, um zero deve ser mentalmente acrescentado para suprir a ausência do dígito “a”. Se o resultado final a’b for divisível por 7 então o número testado é também um múltiplo de 7.

 

─ cd mod 7 é o inverso aditivo de cd em módulo 7 que corresponde à diferença entre cd e o número múltiplo de 7 imediatamente superior.

 

Ex:  ─ 12 mod 7 ≡ 2; na linguagem comum: 12 para 14 é igual a 2.

 

Porque funciona:

 

Este algoritmo funciona porque ─ cd mod 7 ≡ 6 cd mod 7 que é adicionado à casa do milhar: + 6.000 cd. Como cd é eliminado (casas da dezena e da unidade), o processo resulta em uma adição de 6.000 cd e uma subtração de cd: 6.000 cd ─ cd = 5.999 cd. Como 7|5.999 o valor de N em módulo 7 é preservado em cada aplicação do algoritmo. Para comprovar este fato é necessário substituir cada par de dígitos eliminado por zeros.

 

Obs.: ─ n mod x ≡ ( x ─ 1 ) . n mod x para ∀ n e ∀ x.

 

Como funciona essa regra, através de um exemplo numérico:

 

N = 3.218.576.816

 

Este é o número mencionado anteriormente.

 

O algoritmo pode ser aplicado repetitivamente da direita para a esquerda, com extrema rapidez e precisão, exclusivamente através de cálculos mentais, sem a necessidade da utilização de qualquer anotação.

 

Os passos referentes à aplicação da regra serão descritos através da linguagem comum, para facilitar o entendimento.

 

Passo 1: 16 para 21 = 5; 5 + 6 ─ 7 = 4 → 32185748

Passo 2: 48 para 49 = 1; 1 + 5 = 6 → 321867

Passo 3: 67 para 70 = 3; 3 + 1 = 4 → 3248

Passo 4: 48 para 49 = 1; 1 + 3 = 4 → 42; 7|42 e 7|N

O resultado final (RF) = 42

 

A determinação do resto (r) da divisão de N por 7:

 

Se 7ƗN, para determinar o resto, é necessário efetuar a contagem do número de pares de dígitos (n) que constituem N e realizar a subtração: n ─ 1.

 

Se ( n ─ 1 ) mod 3 ≡ 0; r ≡ RF mod 7

Se ( n ─ 1 ) mod 3 ≡ 1; r ≡ 2 . RF mod 7

Se ( n ─ 1 ) mod 3 ≡ 2; r ≡ 4 . RF mod 7

 

Em 1654 Pascal divulgou seu critério de divisibilidade por 7 (teorema 2.5) que consiste em multiplicar cada dígito de um número pela seguinte sequência de multiplicadores:

...231546231

 

A multiplicação de RF por 1, 2 ou 4 mod 7 para a determinação do resto da divisão de N por 7 se fundamenta na sequência de multiplicadores correspondentes a cada dígito da unidade de cada par de dígitos (sublinhado), da direita para a esquerda.

 

Exemplo: N = 82.324.544

Passo 1 : 44 para 49 = 5; 5 + 4 ─ 7 = 2 → 823225

Passo 2 : 25 para 28 = 3; 3 + 3 = 6 → 8262

Passo 3 : 62 para 63 = 1; 1 + 8 ─ 7 = 2 → 22; 7Ɨ22 e 7ƗN

 

Determinação do resto: n = 4; ( 4 ─ 1 ) mod 3 ≡ 0; então r = RF mod 7 → 22 mod 7 ≡ 1

 

O resto da divisão de N por 7 é igual a 1.

 

Dou por encerrada a apresentação de minha Regra Moura Velho de divisibilidade por 7 predileta. Ela foi escolhida porque seu algoritmo é facilmente aprendido e sua aplicação é extremamente rápida e precisa. Todavia, qualquer Regra Moura Velho de divisibilidade por 7 é mais rápida do que qualquer regra matemática criada por outros pesquisadores ao longo de dois milênios de história.

 

Espero que a comunidade matemática acolha as Regras Moura Velho de divisibilidade por 7 por uma questão de justiça e reconhecimento ao enorme trabalho de pesquisa que realizei ao longo de aproximadamente vinte anos. Como a Ciência Matemática não tem ego, ela já acolheu as Regras Moura Velho de divisibilidade por 7.