1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS

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NESTE ESPAÇO SERÁ APRESENTADO, PASSO A PASSO, O TRABALHO QUE CONSIDERO O MAIS COMPLETO SOBRE DIVISIBILIDADE POR 7 ATÉ ENTÃO REALIZADO. CONFIRA!

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Meu nome é Sílvio Moura Velho, sou pesquisador independente (não ortodoxo) e há aproximadamente 20 anos dedico-me, de maneira intermitente, à pesquisa de regras de divisibilidade por 7. Não sou matemático, mas tenho muita facilidade com números.

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 Minha pesquisa gerou os seguintes resultados:

 1) Inicialmente criei o que denominei métodos de divisibilidade por 7;

 2) Posteriormente passei a criar regras de divisibilidade por 7;

 3) Tornei operacional o critério geral de divisibilidade criado e demonstrado por Pascal em 1.654;

 4) Atualmente aperfeiçoei um roteiro voltado à geração de algoritmos cuja aplicação permite verificar rapidamente se um dado número (de qualquer extensão) é divisível por 7;

 5) Criei uma tabuada em módulo 7 que é muito útil na geração dos algoritmos acima mencionados;

 6) Na realidade, fiz várias descobertas relacionadas ao número 7, que se mostraram muito úteis à minha pesquisa e que podem ser aplicadas à divisibilidade de outros números;

 7) Escrevi há alguns anos um livro, ainda inédito, que registrei no INPI, intitulado "Divisibilidade por sete: o fim de um mito?" que aborda tudo o que será publicado neste blog;

 8) Criei um site para a divulgação de meus métodos que atualmente se encontra desativado e

 9) Publiquei com a denominação de método a primeira regra verdadeira de divisibilidade por 7 em meu blog denominado "primeasdivisor" no ano de 2.005; pretendo retomar a edição de novas postagens para atualizá-lo.

http://primeasdivisor.blogspot.com.br/

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 UMA REGRA DE DIVISIBILIDADE APLICÁVEL

 AOS NÚMEROS 7, 11 E 13

 Apresentarei, antes de iniciar o relato de minhas pesquisas, uma regra de divisibilidade que, mudando o que deve ser mudado, é aplicável aos números 7, 11 e 13.

 O algoritmo dessa regra, para verificar a divisibilidade por 7, é o seguinte:

   - (2a + bc) mod 7 + ..., que deve ser repetido sucessivamente a cada uma das classes do número submetido à aplicação da regra, adicionando-se o resultado correspondente à classe anterior à classe subseqüente. Quando a classe inicial não for composta por todas as ordens, considerar as ordens ausentes como iguais a zero. Cada classe deve ser eliminada à medida que a aplicação da regra progredir até que seja atingida a última classe; quando esta classe for alcançada, utilizar o algoritmo com o sinal positivo. Se o número de um ou dois dígitos obtido após o encerramento do processo for múltiplo de 7, o número verificado também o é. Caso contrário, esse número, representado em módulo 7, corresponde ao resto da divisão do número verificador por 7.
A aplicação do critério geral de divisibilidade de Pascal, que será abordado em futuras postagens, determina que em relação à divisibilidade por 7, para verificar se um número de três dígitos é divisível por 7, é necessário multiplicar o valor do dígito da unidade por 1, o valor do dígito da dezena por 3 e o valor do dígito da centena por 2. Se a soma dos produtos assim obtidos resultar em um número múltiplo de sete, o número submetido à verificação é divisível por 7; caso contrário, o resultado em módulo 7 corresponde ao resto da divisão por 7 do número verificado.
Observe-se que, em módulo 7, sendo N = abc, a soma dos produtos de 2 . a + 3 . b + 1 . c ≡ 2 . a + bc
Seja N = 154; (2 . 1 + 3 . 5 + 1 . 4) mod 7 ≡ (2 . 1 + 54) mod 7 ≡ Ø, confirmando-se que o procedimento é correto.

 Exemplos:

 N = 6.552; - 6 mod 7 + 2 . 5 + 52 = 63 → 7|N

N = 486.295; - (2 . 4 + 86) mod 7 ≡ 4; (4 + 2 . 2 + 95) mod 7 ≡ 5 = resto e 7łN

Mentalmente, a operação é extremamente rápida. Vejamos como seria a aplicação do algoritmo com uma linguagem comum:

6 para 7 é 1 + 5 . 2 + 52 = 63 (primeiro exemplo)

4 . 2 + 86 = 94; 94 para 98 são 4; 4 + 2 . 2 + 95 = 103 e 103 – 98 = 5 (segundo exemplo)

Aplicando-se um recurso que será mostrado em outra postagem, a tabuada em módulo 7, sabendo-se que, em qualquer número de dois dígitos múltiplo de 7, o valor do dígito correspondente à dezena é sempre o dobro do valor do dígito da unidade, o algoritmo poderia ser simplificado, substituindo-se “2a” por  (x) que é a forma escolhida para representar o dígito da dezena inserido para eliminar a multiplicação de “a” por 2 e temos o seguinte algoritmo:

- ((x) + bc) mod 7 + ..., cuja aplicação é a seguinte:

N = 964.292

- ((4) + 64) mod 7 = 2; (2 + (4) + 92) mod 7 ≡ Ø; 7|N

N = 692.348

- ((5)+ 92) mod 7 ≡ 1; (1 +(6)+ 48) mod 7 ≡ 6 = r e 7łN

O recurso de utilizar o algoritmo negativo tem a finalidade de efetuar automaticamente uma soma algébrica intercalando os sinais “+” e “-“  dos resultados representados em módulo 7 para cada uma das classes do número verificado.

Observe-se que, atribuindo-se números às classes de um número extenso divisível por 7, a partir de 1 da direita para a esquerda (ou vice-versa) a soma das classes ímpares é equivalente à soma das classes pares, em módulo 7.  

O conjunto de explicações acima demontra porque a regra funciona.

 Apesar de minha prioridade ser a divisibilidade por 7, apresentarei dois exemplos de divisibilidade por 11 e 13.

Divisibilidade por 11

O algoritmo utilizado para ser aplicado à divisibilidade pode ser ligeiramente alterado, considerando que o dígito da dezena e da unidade são iguais quando um número é divisível por  11 (neste caso "a" deve ser multiplicado por 1); e o algoritmo é o seguinte:

- (a + bc) mod 11 + ... O restante das considerações, mudando o que deve ser mudado são semelhantes.

 N = 53.823; - 53 mod 11 ≡ 2; - (2 + 8 + 23) mod 11 ≡ Ø; 11|N

 N = 4.865.238; - 4 mod 11 ≡ 7; - (7 + 8 + 65) mod 11 ≡ 8;  (8 + 2 + 38) mod 11  ≡ 4 = r e 11łN

Obs.: Neste caso não houve necessidade de inclusão de (x).

Divisibilidade por 13

O algoritmo correspondente é :

- (9 a + bc) mod 13 + ... e neste caso pode ser utilizado o (x) substituindo 9 a.

 N = 43.225; - 43 mod 13 ≡ 9;  (9 + (5) + 25) mod 13 ≡ Ø; 13|N

N = 89.641.916; - 89 mod 13 = 2; - (2 + (2) + 41) mod 13  ≡ 7;
(7 +(3) + 16) mod 13 ≡ Ø; 13|N

Eventual e impropriamente (x) pode representar um número de dois dígitos, como no exemplo abaixo:

N = 462.355.892; - ((10) + 62) mod 13 ≡ 6; - (6 + (1) + 55) mod 13 ≡ 3; (3 + (7) + 92) mod 7 ≡ 11; 13 łN

2 - O critério geral de divisibilidade de Pascal

 

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UM CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE APLICÁVEL

A QUALQUER NÚMERO INTEIRO
 

O matemático francês Blaise Pascal criou e demonstrou no ano de 1.654 um critério geral de divisibilidade, isto é, uma forma de demonstrar a divisibilidade de um número inteiro N por qualquer outro número inteiro.

Seu critério fundamentou-se no fato de que se a soma dos restos da divisão de vários números por "a" resultar em um múltiplo de "a", então a soma dos vários números é divisível por "a".

Utilizou-se do próprio sistema decimal para a criação de seu critério e os vários números correspondiam a uma unidade de cada uma das ordens do sistema decimal. Então os dividendos corresponderiam a potências de 10 ordenados da direita para a esquerda na seguinte forma:

10⁰, 10¹, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶ ...

O critério é válido para qualquer número inteiro, tomado como divisor, mas para o nosso trabalho focalizaremos apenas o número 7.

Para o número 7, temos:

10⁰/7 → r = 1; 10¹/7→ r = 3; 10²/7 →r = 2; 10³/7 → r = 6;

10⁴/7 → r = 4; 10⁵/7 → r = 5; 10⁶/7→ r = 1; ...

A partir de 10⁶ a série de r (restos) repete-se em uma seqüência infinita.

Para um número composto por uma unidade em cada uma de suas ordens, bastaria somar os restos correspondentes a cada uma das ordens para verificar se o número é divisível ou não por 7.

Como os números são compostos por dígitos de Ø a 9 em cada uma de suas ordens, para efetuar a verificação é necessário multiplicar o valor do dígito de cada uma de suas ordens pelo valor do resto correspondente à respectiva ordem, conforme relacionado anteriormente. Se a soma dos produtos obtidos for divisível por 7, o número testado também o é.

Exemplo numérico:

N = 465.834

1 . 4 = 4; 3 . 3 = 9; 2 . 8 = 16; 6 . 5 = 30; 4 . 6 = 24 e 5 . 4 = 20. A soma dos produtos é: S = 4 + 9 + 16 + 30 + 24 + 20 = 103; 103 mod 7 ≡ 5 que é igual ao resto de N/7.

Como 103 não é divisível por 7, N também não o é.

Passarei a denominar como multiplicadores os restos obtidos para cada ordem conforme o critério de divisibilidade criado por Pascal.

Para obter os mesmos multiplicadores, prefiro utilizar potências de 3 para cada uma das ordens, representadas em módulo 7. Isto é correto porque 3 é equivalente a 10 em módulo 7.

3⁰ mod 7 ≡ 1; 3¹ mod 7 ≡ 3; 3² mod 7 ≡ 2; 3³mod 7 ≡ 6;

3⁴mod 7 ≡  4; 3⁵mod 7 ≡ 5; 3⁶mod 7 ≡ 1 ...

Como curiosidade, esses números também podem ser obtidos a partir de dois múltiplos de 7: 21 e 56. Efetuando-se a adição de 2 a 1 obtemos 3 que posicionado entre 2 e 1 forma a seqüência: 2, 3 e 1. Efetuando-se a adição de 5 a 6 em módulo 7 obtemos 4 que posicionado entre 5 e 6 forma a seqüência: 5, 4 e 6.

A seqüência de multiplicadores compõe uma progressão geométrica em módulo 7 que se repete indefinidamente, cujo primeiro termo é 1. Da direita para a esquerda, a razão da progressão é 3 e da  esquerda para a direita a razão é 5; em ambos os casos os termos são representados em módulo 7.

... ; 1; 5; 4; 6; 2; 3; 1; ...

Os multiplicadores 5, 4, 6, 2, 3 e 1, mantida a seqüência e agrupados em grupos de três constituem números que são múltiplos de 7 que têm em comum o fato de que o algarismo central pode ser repetido infinitamente formando números que sempre são divisíveis por 7.

Pode-se observar que 546, 462, 623, 231, 315 e 154 são todos múltiplos de 7. A esses números podem ser acrescentados os números: 469, 693, 931, 385 e 854 que são também múltiplos de 7 e não perdem essa condição se o algarismo central for repetido infinitamente, pois 7|546; 7|54446; 7|623; 7|6223 etc.

Esta constatação é útil porque é fácil obter números mais extensos que sejam divisíveis por 7 para a realização de pesquisas que envolvam múltiplos de 7.

Outra característica interessante da seqüência de multiplicadores é que, mantida a ordem, eles podem ser aplicados, da direita para a esquerda a partir de qualquer um deles, ou seja, não há a necessidade de que, obrigatoriamente, o multiplicador 1 seja aplicado ao valor da unidade e assim por diante. Isto é muito útil para tornar operacional o critério de divisibilidade criado por Pascal.

Para demonstrar o que foi afirmado serão utilizados números compostos por três dígitos cuja aplicação dos multiplicadores, mantida a seqüência da direita para a esquerda, se iniciarão com qualquer um deles.

N = 462

1 . 2 = 2; 3 . 6 = 18 e 2 . 4 = 8; S = 2 + 18 + 8 = 28; 7|28 e N.

3 . 2 = 6; 2 . 6 = 12 e 6 . 4 = 24; S = 6 + 12 + 24 = 42; 7|42 e N.

2 . 2 = 4; 6 . 6 = 36 e 4 . 4 = 16; S = 4 + 36 + 16 = 56; 7|56 e N.

6 . 2 = 12; 4 . 6 = 24 e 5 . 4 = 20; S = 12 + 24 + 20 = 56; 7|56 e N.

4 . 2 = 8; 5 . 6 = 30 e 1 . 4 = 4; S = 8 + 30 + 4 = 42; 7|42 e N.

5 . 2 = 10; 1 . 6 = 6 e 3 . 4 = 12; S = 10 + 6 + 12 = 28; 7|28 e N

O exemplo acima foi realizado com um número divisível por 7 e restou confirmado que, mantida a seqüência, é indiferente o multiplicador com que se inicia a aplicação do critério de divisibilidade.

Eis uma demonstração adicional aplicada a N = 1.001; 7|N

Multiplicadores: 6; 2; 3 e 1 → 6 . 1 + 1 . 1 = 7

                              4; 6; 2 e 3 → 4 . 1 + 3 . 1 = 7

                              5; 4; 6 e 2 → 5 . 1 + 2 . 1 = 7

                              1; 5; 4 e 6 → 1 . 1 + 6 . 1 = 7

                              3; 1; 5 e 4 → 3 . 1 + 4 . 1 = 7

                              2; 3; 1 e 5 → 2 . 1 + 5 . 1 = 7                       

Outra constatação interessante se refere ao fato de que, se o número não for divisível por 7, o resto da divisão da soma obtida pela aplicação dos multiplicadores será equivalente a 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 vezes o resto da divisão de N por 7. Se à unidade for aplicado o multiplicador 3, o resto da divisão de N por 7 equivalerá a 3 r; se for utilizado o multiplicador 6 aplicado à unidade, o resto da divisão de N por 7 equivalerá a 6, variando sempre em função do multiplicador aplicado ao algarismo correspondente à unidade.

Exemplo com um número de dois dígitos:

N = 58; 58/7 r = 2

S = 1 . 8 + 3 . 5 = 23; 23/7 -> 1 . r = 2

S = 3 . 8 + 2 . 5 = 34; 34/7 -> 3 . r = 6

S = 2 . 8 + 6 . 5 = 46; 46/7 -> 2 . r = 4

S = 6 . 8 + 4 . 5 = 68; 68/7 -> (6 . r) mod 7 ≡ 5

S = 4 . 8 + 5 . 5 = 57; 57/7 -> (4 . r) mod 7 ≡ 1

S = 5 . 8 +1 . 5 = 45; 45/7 -> (5 . r) mod 7 ≡ 3

Esta característica se revelará importante quando for iniciada a demonstração de como criar verdadeiras regras de divisibilidade por 7.

Outra constatação se refere ao fato de que, aplicando-se um multiplicador diferente de 1 ao valor de um dígito de N (divisível por 7), a adição do respectivo produto ao dígito correspondente ao multiplicador 1, irá gerar um novo número também divisível por 7. Se N não for divisível por 7, o novo número obtido também não o será. O dígito cujo multiplicador for diferente de 1 será eliminado se estiver localizado no início ou no final do número, se estiver localizado entre o início e o final, será substituído por zero; e o dígito correspondente ao multiplicador 1 será substituído pelo resultado da adição efetuada.

Exemplo 1) N = 5.452

Utilizando-se a seqüência de multiplicadores 1, 5, 4 e 6, da esquerda para a direita, o multiplicador 6 corresponde ao dígito da unidade (2) e o multiplicador 1 corresponde ao dígito do milhar (5). Multiplicando-se 6 por 2 e adicionando-se o respectivo produto ao valor do dígito do milhar, em módulo 7, obteremos um "novo" N.

(6 . 2 + 5) mod 7  ≡ 3 → N' = 345; 7łN' e N

Exemplo 2) N = 82.134; seqüência de multiplicadores: 6, 2, 3, 1 e 5. Com a aplicação do multiplicador 2 ao valor do dígito do milhar e adicionando-se o produto ao valor do dígito da dezena, obtemos:

(2 . 2 + 3) mod 7 ≡ Ø → N' = 80.104;  7łN' e N

Exemplo 3) N = 46.354; seqüência de multiplicadores: 2, 3, 1, 5, 4. Com a aplicação do multiplicador 4 ao valor do dígito da unidade e adicionando-se o produto ao valor do dígito da centena, obtemos:

 (4 . 4 + 3) mod 7 ≡ 5 → N' = 4.655; 7|N' e N

Esta característica também é muito importante e todos os pesquisadores que tentaram criar regras de divisibilidade por 7,  a utilizaram intuitivamente.

Digo intuitivamente porque ainda hoje é comum verificarmos, em sites especializados, estudiosos com o grau de Ph.D. se referirem a ela como truque (trick) e, aparentemente desconhecendo o critério geral de divisibilidade criado por Pascal, porque prometem mas nunca revelam porque o truque funciona.

Exemplos da aplicação dessa característica aos testes (digo testes e não regras) de divisibilidade por 7 criados por alguns estudiosos ao longo da História da Teoria dos Números:

a) multiplicar o valor do primeiro dígito de um número por 3 e adicionar o produto ao valor do dígito seguinte, eliminando o primeiro;

N = 154; 3 . 1 + 5 = 8 N' = 84; 7|84 e N

Ordem dos multiplicadores 3, 1 e 5.

b) multiplicar o valor do primeiro dígito por 2 e adicionar o produto ao número formado pelos dois dígitos subseqüentes, eliminando o primeiro dígito:

N = 154; 2 . 1 + 54 = 56; 7|56 e N

Ordem dos multiplicadores 2, 3 e 1.

c) multiplicar o valor do dígito da unidade por 2 e subtrair o produto do número formado pelos dígitos da centena e da dezena:

N = 154; 2 . 4 = 8; 15 - 8 = 7; 7|7 e N

Neste caso, multiplicar por 2 e subtrair do número antecedente é equivalente a multiplicar por 5 em módulo 7.

Observe-se que - ( 2 . 4) mod 7 ≡ 6 e que (5 . 4) mod 7 ≡ 6.

Ordem dos multiplicadores 3, 1 e 5. 

Parece que este é o teste favoritos dos matemáticos; prefiro a minha versão em módulo 7, apesar de continuar sendo um mero teste.

d) multiplicar o valor do dígito da unidade por 4 e adicioná-lo ao valor do dígito da centena, eliminando-se o dígito da unidade:

N = 154; (4 . 4 + 1) mod 7 ≡ 3; N' = 35; 7|35 e N

Ordem dos multiplicadores: 1, 5 e 4.

Como se observa, conhecendo-se e aplicando-se o critério geral de divisibilidade de Pascal, é fácil entender porque os "truques" inexplicáveis podem ser explicados.

O critério criado por Pascal revelou-se moroso, apesar de teoricamente perfeito. Os estudiosos, ao que parece, nunca se preocuparam em torná-lo operacional. Meus estudos, como se verificará, conferiram operacionalidade ao critério de Pascal.

3 - Tabuada em módulo 7

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4 - A Primeira verdadeira regra de divisibilidade por 7

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COMO FOI CRIADA

A primeira regra verdadeira de divisibilidade por 7 foi criada por mim no ano de 2.005. Denomino-a "regra verdadeira" porque sua aplicação a números de qualquer extensão dispensa a utilização de lápis e papel, podendo ser executada linearmente, da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita do número dado, com uma rapidez semelhante à da verificação da divisibilidade por 9; os cálculos são todos realizados mentalmente. Essa regra também surgiu da observação de números múltiplos de 7 compostos por três dígitos.

Se acrescentarmos (mentalmente) a um número de três dígitos divisível por 7, antes do dígito da centena e depois do dígito da unidade, dígitos que com eles formem números de dois dígitos divisíveis por 7 e efetuarmos a adição dos cinco dígitos assim obtidos, a soma resultará  sempre em um número divisível por 7.

Exemplos:
N = 154; (2) 154 (2) ; S = 2 + 1 + 5 + 4 + 2 = 14
N = 959; (4) 959 (1) ; S = 4 + 9 + 5 + 9 + 1 = 28
N = 651; (5) 651 (4) ; S = 5 + 6 + 5 + 1 + 4 = 21

PORQUE FUNCIONA

Esse procedimento funciona porque, de acordo com a tabuada em módulo 7, o valor do dígito da centena foi multiplicado por 3, o valor do dígito da dezena permaneceu inalterado (multiplicado por 1) e o dígito da unidade foi multiplicado por 5. Automaticamente foi aplicada uma seqüência de três multiplicadores do critério de Pascal. A soma dos produtos sempre resultou em um número múltiplo de 7. Como Pascal já demonstrou porque o critério criado por ele funciona, é suficiente demonstrar que a regra foi aplicada de acordo com esse critério. A única diferença, introduzida  por mim, é que não foi obedecida, rigorosamente, a seqüência originalmente estabelecida, que se inicia com o multiplicador 1 para a unidade. 

O IMPASSE

A regra criada mediante a observação de números múltiplos de 7 compostos por três dígitos funcionou muito bem para números de até três dígitos, mas como seria a aplicação dessa regra para números mais extensos?

Tentei repetir a regra para cada grupo de três dígitos de um número extenso, divisível por 7, mas observei que, no conjunto, o resultado obtido era incorreto.

Depois de muita insistência, certo dia resolvi inverter o resultado obtido para cada grupo de três dígitos, na passagem de um grupo para outro, e finalmente foi encontrada a solução para o impasse em que me encontrava. Utilizando o que dei a denominação de "oposto modular" pela inversão do sinal de cada soma, de positivo para negativo, observei que os resultados obtidos passaram a ser sempre corretos.

É importante observar que o acréscimo de dígito à esquerda somente ocorre quando o número submetido à regra contiver o dígito da centena; caso contrário, nenhum dígito é acrescentado à esquerda.

Para facilitar a criação de um algoritmo para essa regra representaremos por (x) o dígito acrescentado antes do dígito da centena e por (y) o digito acrescentado após a unidade.

APLICAÇÃO DA REGRA A NÚMEROS EXTENSOS

Após a solução do impasse tornou-se possível a aplicação da regra a números de qualquer extensão, mediante a utilização sucessiva do seguinte algoritmo:

 S = - ((x) + a + b + c +(y) ) mod 7

Exemplos:

N = 46.459; - (4 + 6 + (3)) mod 7 ≡ 1; - (1 + (1) + 4 + 5 + 9 +(1)) mod 7 ≡ Ø

 N = 18.868.913; - (1 + 8 +(4)) mod 7 ≡ 1; - (1 + (2) + 8 + 6 + 8 +(4)) mod 7 ≡ 6; (6 + (4) + 9 + 1 + 3 + (5))mod 7 ≡ Ø

Observações: 1 - Se durante a aplicação da regra, ao final de uma classe, for obtida uma soma correspondente a um múltiplo de 7 isto significa que o número constituído pelas classes já consideradas é um múltiplo de 7; e a aplicação da regra deve prosseguir normalmente, a partir da classe seguinte.

2 - Uma pessoa habilidosa com números pode ignorar os algarismos 7 e Ø, ou números de dois dígitos múltiplos de 7, na aplicação da regra.

 3 - Na aplicação da regra a um número extenso, não há necessidade de utilizar o "oposto modular" ao final da última classe.

4 - A regra apresentada, mudando o que deve ser mudado, também se aplica com a mesma rapidez à verificação da divisibilidade de um número inteiro por 13.

EXEMPLO DE DIVISIBILIDADE POR 13

N = 891.401.446

- ((7) + 8 + 9 + 1 + (3)) mod 13 ≡ 11; - ( 11 + (10) + 4 + 1 + (3)) mod 13 ≡ 10; ( 10 + (10) + 4 + 4 + 6 + (5)) mod 7 ≡ 39 ≡ Ø; 13|39 e N

Como se observa, o algoritmo permanece inalterado, passando-se a utilizar o módulo 13. A aplicação do algoritmo em certos casos implica que (x) seja composto por dois dígitos.

A UTILIZAÇÃO DO OPOSTO MODULAR

 A utilização do oposto modular, mediante a inversão do sinal obtido ao final de cada soma, foi eficiente porque, conforme já foi demonstrado, em um número múltiplo de 7 composto por várias classes, há equivalência em módulo 7 entre as somas algébricas das classes, alternando-se os sinais de "+" e de "-" para cada classe.

 Como o valor de cada classe é reduzido à sua expressão equivalente em módulo 7, a tarefa de alternar os sinais "+" e "-" é facilitada pela utilização da Aritmética Modular. A alternância de sinais também já foi demonstrada anteriormente. 

 A REPERCUSSÃO AO ANÚNCIO DA DESCOBERTA

 Na época em que publiquei  esta regra em meu site na Internet, dei-lhe a denominação de “Método Moura Velho de Divisibilidade por 7” porque não percebi que, na realidade, se tratava de uma regra.

 Como costumava fazer, enviei e-mails para diversos departamentos de Matemática de Universidades brasileiras e estrangeiras, para vários sites especializados em Matemática e vários especialistas em Teoria dos Números, principalmente estrangeiros. Enviei dois artigos para a Revista do Professor de Matemática sendo que um deles, ou ambos, continha a regra aqui apresentada. Tentei o contato com políticos, articulistas de jornais, apresentadores de TV, o próprio MEC, emissoras de TV, tudo em vão.

 Um dos retornos, de um Ph.D. norte-americano, me surpreendeu de maneira particularmente desagradável. Ele punha em dúvida a autoria de meu método; retruquei afirmando que não estava fazendo nada escondido e que retiraria o método de meu site se alguém comprovasse que ele houvera sido criado por outra pessoa; ele indagou como eu me sentiria se meu método não fosse utilizado "por ser muito avançado para a época" e eu soubesse que alguém no futuro se apoderasse dele e o apresentasse como seu; ignorei a questão da autoria e demonstrei que meu método é tão simples que a filha de nossa empregada, aluna do ensino fundamental da rede pública, o aprendeu em questão de poucos minutos e o aplicou a vários números de 8 a 12 dígitos sem cometer um único erro. A discussão se encerrou quando ele, esquecendo-se totalmente do tema que se encontrava em debate, pediu-me que eu perguntasse à filha de minha empregada se ela aprendeu a efetuar a multiplicação Lattice que é muito popular no ensino fundamental norte-americano. Minha conclusão foi a de que ele apreciou imensamente o meu método e ficou muito aborrecido por não tê-lo criado.

 Mais surpreendente, para mim, foi a recusa de publicação de meus artigos pela Revista do Professor de Matemática, com a seguinte justificativa: "O Comitê acha que a RPM, se insistir no assunto, pode passar uma imagem (falsa) de que a divisibilidade por 7 é um tema de importância especial". Além de não publicar meus artigos, sem minha autorização, passaram-nos para outro setor da revista.

Houve vários retornos agradáveis, com elogios mas que em nada contribuiram para a divulgação de minha regra. Em relação ao primeiro método por mim criado houve uma referência elogiosa no site :

http://ken.duisenberg.com/potw/archive/arch05/050902sol.html

 Para finalizar, comentarei o feedback de um Ph.D. em Matemática que compõe um grupo de doctors que se propõe a esclarecer questões de Matemática. Submeti a ele este método (regra)  e recebi a resposta de que ele considerou meu método "interessante, mas de pouca utilidade ..."; Afirmou que tem dificuldade em memorizar algoritmos referentes a regras de divisibilidade e que se utiliza de um simples algoritmo para testar a divisibilidade de qualquer número não compreendido nos intervalos entre 2 a 6 e entre 8 a 11. Eis o seu algoritmo, aplicado ao número 4.155.809:

4155809
 4155830
 415583
 415590
 41559  
 41510  
 4151    
 4130    
 413       
 420       
 42

 Interessante e, sem comentários ...

O mesmo número, com a aplicação de minha regra:

N = 4.155.809

4 + (2)= 6; 6 para 7 = 1; 1 +(2) + 1 + 5 + 5 + (6) = 20; 20 para 21 = 1;
1 +( 2) + 8 + 9 + 1 = 21; 7|21 e 7|N

Após o feedback do PH.D, confessando ter dificuldade em memorizar um algoritmo que uma criança memorizou e aplicou com facilidade para números mais extensos do que aquele submetido a ele, pensei que o nosso ensino público não é tão ruim quando afirmam.

Penso que a utilização rigorosa de linguagem matemática em relação a questões elementares impede uma melhor apreciação dessas questões. Observe-se que a expressão:

- (8 + 5) mod 7 + 6 se torna mais simples, e sua resolução mais rápida, com a utilização de linguagem comum: 8 + 5 = 13 para 14 = 1; 1 + 6 = 7, ou zero em módulo 7.

Minha regra, visualmente, parece complexa mas com a utilização da linguagem comum ela se torna simples e rápida.

Nosso próximo assunto será a criação de regras de divisibilidade por 7.

 

5 - A observação de múltiplos de 7 com mais de dois dígitos

 

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OBSERVAÇÃO E CONCLUSÕES

O material a seguir tem somente a finalidade de ilustrar uma etapa de minha pesquisa e pode mostrar-se interessante para auxiliar o trabalho de outros pesquisadores.

A observação de números múltiplos de 7 com mais de dois dígitos permitiu a criação de meu primeiro método de divisibilidade por 7 publicado na Internet. O número mais utilizado por mim foi o 154, que é uma sequência dos multiplicadores de Pascal e permite a inclusão de um número infinito de dígitos 5 entre 1 e 4 (1.554, 15.554, 155.554 etc.) mantendo-se a divisibilidade por 7 dos novos números assim obtidos. Quando se utiliza apenas a intuição, a repetição de algarismos pode induzir à criação de regras incorretas com a aparência de corretas.

NÚMERO DE TRÊS DÍGITOS

Minha primeira conclusão ao observar o número 154 foi a de que, adicionando-se 1 a 5, cujo resultado deve ser considerado como dezena e subtraindo-se 1 de 4, cujo resultado deve ser considerado como unidade, o número resultante também é múltiplo de 7. O dígito 1 da centena deve ser eliminado.

De fato sendo a dezena = 1 + 5 e a unidade = 4 - 1 o novo número 63 é múltiplo de 7. Isto ocorre com qualquer número de três dígitos que seja múltiplo de 7.

A aplicação da Aritmética Modular é extremamente útil para a obtenção rápida e precisa de resultados.

Novos exemplos, considerando d = dezena e u = unidade, com a eliminação do dígito da centena:

N=462; d=(4 + 6) mod 7 ≡ 3; u = (- 4 + 2) mod 7 ≡ 5 → 35

N=546;d=(5 + 4) mod 7 ≡ 2; u = (- 5 + 6) mod 7 ≡ 1 → 21

N=623;d=(6 + 2) mod 7 ≡ 1; u = (- 6 + 3) mod 7 ≡ 4 → 14

Algoritmo: d = (a + b) mod 7 e u = (-a + c) mod 7

NÚMERO DE QUATRO DÍGITOS

Com o acréscimo de mais um dígito 5, entre 1 e 4, a N este passa a ser:

N = 1.554 e, neste caso, para reduzir N a um número de dois dígitos é necessário eliminar os dígitos da unidade de milhar 1 e da centena 5; adicionar o número formado por esses dois dígitos ao valor do dígito da dezena e subtraí-lo do valor do dígito da unidade, com a utilização da Aritmética Modular.

N = 1.554; d = (15 + 5) mod 7 ≡ 6; u = (-15 + 4)* mod 7 ≡ 3 → 63

N = 4.662; d = (46 + 6) mod 7 ≡ 3; u = (-46 + 2) mod 7 ≡ 5 → 35

N = 6.223; d = (62 + 2) mod 7 ≡ 1; u = (-62 + 3) mod 7 ≡ 4 → 14

*Na prática efetuamos mentalmente: 15 para 21 é igual a 6; 6 mais 4 é igual a 10 e 10 menos - 7 é igual a 3.

Algoritmo: d = (ab + c) mod 7 e u = (- ab + d) mod 7

PORQUE FUNCIONA

Observe-se que a explicação do porque funciona o método acima parte da constatação de que os multiplicadores de Pascal se assemelham a pesos que são aplicados a notas atribuídas em certos exames, em que há matérias que têm importância maior e a nota de cada matéria é multiplicada pelo respectivo peso.

Em N = 1.554, utilizando-se a sequência: 6, 2, 3 e 1, pode-se atribuir o peso 2 para o número formado pelos dois dígitos iniciais*. Como esse número será excluído e tem o peso 2, sua exclusão equivale a (15 . 2)  mod 7 ≡ 2, ou - 2; esse mesmo número será acrescentado ao dígito da dezena cujo peso é 3 e equivale a (15 . 3) mod 7 ≡ 3, ou + 3 e finalmente, esse mesmo número será subtraído do dígito da unidade cujo peso é 1 e equivale a (15 . 1) mod 7 ≡ 1, ou - 1. O resultado da soma algébrica: - 2 + 3 - 1 = Ø demonstra que a divisibilidade por 7 do número inicial de quatro dígitos permaneceu inalterada após sua redução a um número de dois dígitos.

* Lembrar que (6 . 1 + 5 . 2) mod 7 ≡ (15 . 2) mod 7 ≡ 2

Para números mais extensos esse procedimento permite a aplicação do algoritmo a cada grupo de quatro dígitos; eliminando-se os dois primeiros dígitos a aplicação prossegue até ser obtido um número de dois dígitos, da seguinte forma:

N = 964.124

           2.324

A eliminação de 96:

(96 + 4) mod 7 ≡ 2

(- 96 mod 7 + 1) mod 7 ≡ 3

A eliminação de 23:

(23 + 2) mod 7 ≡ 4

(-23 mod 7 + 4) mod 7 ≡ 2

N foi reduzido ao número de dois dígitos 42; então 7|42 e N

NÚMERO DE CINCO DÍGITOS

Acrescentando-se mais um dígito 5 entre 1 e 4 obtemos um número mais extenso e outra variação de meu primeiro método pode ser representada pelo seguinte algoritmo:

N = 15.554; d = (c + d) mod 7; u = [- (ab + c) mod 7 + d] mod 7

Aplicação a N; d = (5 + 5) mod 7 ≡ 3; u = [- (15 + 5) mod 7 + 4] mod 7 ≡ 5 → du = 35

Calculando mentalmente a aplicação é assim:

d = 5 + 5 = 10; 10 - 7 = 3

15 + 5 = 20; 20 para 21 é igual a 1; 1 + 4 = 5

N = 46.144

d = (1 + 4) mod 7 ≡ 5; u = [- (46 + 1) mod 7 + 4] mod 7 ≡ 6

Número de dois dígitos = 56

N = 45.346

d = (3 + 4) mod 7 ≡ Ø ; u = [ - (45 + 3) mod 7 + 6] mod 7 ≡ Ø

N foi reduzido a Ø, múltiplo de 7, confirmando-se a validade da aplicação do algoritmo para verificar a divisibilidade de N por 7.

PORQUE FUNCIONA

Esta variação tem uma explicação diferenciada das demais porque a multiplicação do valor de um dos dígitos foi efetuada em duas etapas. Os multiplicadores de Pascal foram aplicados da esquerda para a direita na seguinte ordem: 4, 6, 2, 3 e 1.

No primeiro exemplo, em que N = 46.144, tanto 46 quanto 1 foram multiplicados por 6 e adicionados ao dígito da unidade. Entretanto o valor do dígito 1 deveria ser multiplicado por 2 e não por 6; como depois de eliminado ele foi acrescentado ao valor do dígito 4 (da dezena) cujo multiplicador é 3, então ele foi multiplicado cumulativamente por 6 e por 3 e (6 + 3) mod 7 ≡ 2, concluindo-se que o valor de cada dígito foi multiplicado pelo respectivo multiplicador.

Essa maneira diferenciada de aplicar os multiplicadores de Pascal talvez possa ser utilizada em relação a outras regras de divisibilidade por 7 ou na criação de regras de divisibilidade por outros números, principalmente por aqueles que pesquisam a divisibilidade por números primos de dois dígitos.

No caso da aplicação do algoritmo a N foi obtido o número de dois dígitos 84 ≡ 14, divisível por 7. Observe-se que 45.346 - 45.269 = 77, também divisível por 7 e equivalente em mod 7 ao número de dois dígitos obtido.

Exemplo da aplicação a um número mais extenso:

N = 578.543

[-  (57 + 8) mod 7 + 4] ≡ 2 → 8.523

(8 + 5 ) mod 7 ≡ 6 → 623; para números de três dígitos temos:

d = (6 + 2) mod 7 ≡ 1 e u = (- 6 + 3) mod 7 ≡ 4 → 14

MEU PRIMEIRO MÉTODO

Basicamente, meu primeiro método consistia em efetuar a subtração sucessiva, em módulo 7, das somas dos dígitos contíguos da centena e da dezena em uma primeira etapa para determinar o dígito da dezena de um número de dois dígitos; na segunda etapa, para determinar o dígito da unidade, é necessário efetuar a subtração sucessiva das somas dos dígitos contíguos da centena e da unidade.

Exemplo:

N = 4.889.283

d = [- ( 8 + 8 ) mod 7 + ( 2 + 8)] mod 7 ≡ 1

Em linguagem comum: 8 + 8 = 16; 16 para 21 = 5; 5 + 2 + 8 = 15; 15 – 14 = 1

u =  [- (4 + 8) mod 7 + (9 + 2)] mod 7 ≡ 6; ( - 6 + 3 ) mod 7 ≡ 4

Em linguagem comum:

4 + 8 = 12 para 14 = 2; 2 + 9 + 2 = 13 para 14 = 1; 1 + 3 = 4

N foi reduzido ao número de dois dígitos 14, logo ambos são divisíveis por 7.

A LIÇÃO DE UM MESTRE

As conclusões acima foram totalmente baseadas na observação e na intuição. Todavia, com a publicação na Internet de meu primeiro método, que é um pouco diferente deste aqui apresentado, recebi uma verdadeira lição de um mestre em Matemática, o Professor David Gross, da Universidade de Connecticut. Provocado por um e-mail enviado por mim, ele analisou o meu primeiro método e teceu considerações elogiosas ao meu trabalho. Aconselhou-me a procurar universidades brasileiras em busca de orientação e apoio. Todavia, ele percebeu que minha explicação de "porque o método funciona" deixava muito a desejar e elaborou um trabalho de quatro páginas em que demonstrou porque meu método funciona com fundamento no critério geral de divisibilidade de Pascal. A partir desse momento meu trabalho, sem perder sua natureza intuitiva, passou a ser próximo de científico.

A primeira regra verdadeira de divisibilidade por 7 foi criada por mim, ainda de forma intuitiva, no ano de 2.005. Sem perceber que havia resolvido o problema elementar mais difícil da história da Matemática, denominei essa regra como método. Na próxima postagem será apresentada essa regra.