terça-feira, 28 de agosto de 2012

2 - O critério geral de divisibilidade de Pascal

 
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UM CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE APLICÁVEL
A QUALQUER NÚMERO INTEIRO
 
O matemático francês Blaise Pascal criou e demonstrou no ano de 1.654 um critério geral de divisibilidade, isto é, uma forma de demonstrar a divisibilidade de um número inteiro N por qualquer outro número inteiro.
Seu critério fundamentou-se no fato de que se a soma dos restos da divisão de vários números por "a" resultar em um múltiplo de "a", então a soma dos vários números é divisível por "a".
Utilizou-se do próprio sistema decimal para a criação de seu critério e os vários números correspondiam a uma unidade de cada uma das ordens do sistema decimal. Então os dividendos corresponderiam a potências de 10 ordenados da direita para a esquerda na seguinte forma:
100, 101, 102, 103, 104, 105, 106 ...
O critério é válido para qualquer número inteiro, tomado como divisor, mas para o nosso trabalho focalizaremos apenas o número 7.
Para o número 7, temos:
100/7 r = 1; 101/7r = 3; 102/7 r = 2; 103/7 r = 6;
104/7  r = 4; 105/7  r = 5; 106/7 r = 1; ...
A partir de 106 a série de r (restos) repete-se em uma seqüência infinita.
Para um número composto por uma unidade em cada uma de suas ordens, bastaria somar os restos correspondentes a cada uma das ordens para verificar se o número é divisível ou não por 7.
Como os números são compostos por dígitos de Ø a 9 em cada uma de suas ordens, para efetuar a verificação é necessário multiplicar o valor do dígito de cada uma de suas ordens pelo valor do resto correspondente à respectiva ordem, conforme relacionado anteriormente. Se a soma dos produtos obtidos for divisível por 7, o número testado também o é.
Exemplo numérico:
N = 465.834
1 . 4 = 4; 3 . 3 = 9; 2 . 8 = 16; 6 . 5 = 30; 4 . 6 = 24 e 5 . 4 = 20. A soma dos produtos é: S = 4 + 9 + 16 + 30 + 24 + 20 = 103; 103 mod 7 ≡ 5 que é igual ao resto de N/7.
Como 103 não é divisível por 7, N também não o é.
Passarei a denominar como multiplicadores os restos obtidos para cada ordem conforme o critério de divisibilidade criado por Pascal.
Para obter os mesmos multiplicadores, prefiro utilizar potências de 3 para cada uma das ordens, representadas em módulo 7. Isto é correto porque 3 é equivalente a 10 em módulo 7.
30 mod 7 ≡ 1; 3mod 7 ≡ 3; 32 mod 7 ≡ 2; 33mod 7 ≡ 6;
34mod 7 ≡  4; 35mod 7 ≡ 5; 36mod 7 ≡ 1 ...
Como curiosidade, esses números também podem ser obtidos a partir de dois múltiplos de 7: 21 e 56. Efetuando-se a adição de 2 a 1 obtemos 3 que posicionado entre 2 e 1 forma a seqüência: 2, 3 e 1. Efetuando-se a adição de 5 a 6 em módulo 7 obtemos 4 que posicionado entre 5 e 6 forma a seqüência: 5, 4 e 6.
A seqüência de multiplicadores compõe uma progressão geométrica em módulo 7 que se repete indefinidamente, cujo primeiro termo é 1. Da direita para a esquerda, a razão da progressão é 3 e da  esquerda para a direita a razão é 5; em ambos os casos os termos são representados em módulo 7.
... ; 1; 5; 4; 6; 2; 3; 1; ...
Os multiplicadores 5, 4, 6, 2, 3 e 1, mantida a seqüência e agrupados em grupos de três constituem números que são múltiplos de 7 que têm em comum o fato de que o algarismo central pode ser repetido infinitamente formando números que sempre são divisíveis por 7.
Pode-se observar que 546, 462, 623, 231, 315 e 154 são todos múltiplos de 7. A esses números podem ser acrescentados os números: 469, 693, 931, 385 e 854 que são também múltiplos de 7 e não perdem essa condição se o algarismo central for repetido infinitamente, pois 7|546; 7|54446; 7|623; 7|6223 etc.
Esta constatação é útil porque é fácil obter números mais extensos que sejam divisíveis por 7 para a realização de pesquisas que envolvam múltiplos de 7.
Outra característica interessante da seqüência de multiplicadores é que, mantida a ordem, eles podem ser aplicados, da direita para a esquerda a partir de qualquer um deles, ou seja, não há a necessidade de que, obrigatoriamente, o multiplicador 1 seja aplicado ao valor da unidade e assim por diante. Isto é muito útil para tornar operacional o critério de divisibilidade criado por Pascal.
Para demonstrar o que foi afirmado serão utilizados números compostos por três dígitos cuja aplicação dos multiplicadores, mantida a seqüência da direita para a esquerda, se iniciarão com qualquer um deles.
N = 462
1 . 2 = 2; 3 . 6 = 18 e 2 . 4 = 8; S = 2 + 18 + 8 = 28; 7|28 e N.
3 . 2 = 6; 2 . 6 = 12 e 6 . 4 = 24; S = 6 + 12 + 24 = 42; 7|42 e N.
2 . 2 = 4; 6 . 6 = 36 e 4 . 4 = 16; S = 4 + 36 + 16 = 56; 7|56 e N.
6 . 2 = 12; 4 . 6 = 24 e 5 . 4 = 20; S = 12 + 24 + 20 = 56; 7|56 e N.
4 . 2 = 8; 5 . 6 = 30 e 1 . 4 = 4; S = 8 + 30 + 4 = 42; 7|42 e N.
5 . 2 = 10; 1 . 6 = 6 e 3 . 4 = 12; S = 10 + 6 + 12 = 28; 7|28 e N
O exemplo acima foi realizado com um número divisível por 7 e restou confirmado que, mantida a seqüência, é indiferente o multiplicador com que se inicia a aplicação do critério de divisibilidade.
Eis uma demonstração adicional aplicada a N = 1.001; 7|N

Multiplicadores: 6; 2; 3 e 1 → 6 . 1 + 1 . 1 = 7
                              4; 6; 2 e 3 → 4 . 1 + 3 . 1 = 7
                              5; 4; 6 e 2 → 5 . 1 + 2 . 1 = 7
                              1; 5; 4 e 6 → 1 . 1 + 6 . 1 = 7
                              3; 1; 5 e 4 → 3 . 1 + 4 . 1 = 7
                              2; 3; 1 e 5 → 2 . 1 + 5 . 1 = 7                       
Outra constatação interessante se refere ao fato de que, se o número não for divisível por 7, o resto da divisão da soma obtida pela aplicação dos multiplicadores será equivalente a 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 vezes o resto da divisão de N por 7. Se à unidade for aplicado o multiplicador 3, o resto da divisão de N por 7 equivalerá a 3 r; se for utilizado o multiplicador 6 aplicado à unidade, o resto da divisão de N por 7 equivalerá a 6, variando sempre em função do multiplicador aplicado ao algarismo correspondente à unidade.
Exemplo com um número de dois dígitos:
N = 58; 58/7 r = 2
S = 1 . 8 + 3 . 5 = 23; 23/7 -> 1 . r = 2
S = 3 . 8 + 2 . 5 = 34; 34/7 -> 3 . r = 6
S = 2 . 8 + 6 . 5 = 46; 46/7 -> 2 . r = 4
S = 6 . 8 + 4 . 5 = 68; 68/7 -> (6 . r) mod 7 5
S = 4 . 8 + 5 . 5 = 57; 57/7 -> (4 . r) mod 7 1
S = 5 . 8 +1 . 5 = 45; 45/7 -> (5 . r) mod 7 ≡ 3
Esta característica se revelará importante quando for iniciada a demonstração de como criar verdadeiras regras de divisibilidade por 7.
Outra constatação se refere ao fato de que, aplicando-se um multiplicador diferente de 1 ao valor de um dígito de N (divisível por 7), a adição do respectivo produto ao dígito correspondente ao multiplicador 1, irá gerar um novo número também divisível por 7. Se N não for divisível por 7, o novo número obtido também não o será. O dígito cujo multiplicador for diferente de 1 será eliminado se estiver localizado no início ou no final do número, se estiver localizado entre o início e o final, será substituído por zero; e o dígito correspondente ao multiplicador 1 será substituído pelo resultado da adição efetuada.
Exemplo 1) N = 5.452
Utilizando-se a seqüência de multiplicadores 1, 5, 4 e 6, da esquerda para a direita, o multiplicador 6 corresponde ao dígito da unidade (2) e o multiplicador 1 corresponde ao dígito do milhar (5). Multiplicando-se 6 por 2 e adicionando-se o respectivo produto ao valor do dígito do milhar, em módulo 7, obteremos um "novo" N.
(6 . 2 + 5) mod 7  ≡ 3 N' = 345; 7łN' e N
Exemplo 2) N = 82.134; seqüência de multiplicadores: 6, 2, 3, 1 e 5. Com a aplicação do multiplicador 2 ao valor do dígito do milhar e adicionando-se o produto ao valor do dígito da dezena, obtemos:
(2 . 2 + 3) mod 7 ≡ Ø → N' = 80.104;  7łN' e N

Exemplo 3) N = 46.354; seqüência de multiplicadores: 2, 3, 1, 5, 4. Com a aplicação do multiplicador 4 ao valor do dígito da unidade e adicionando-se o produto ao valor do dígito da centena, obtemos:
 (4 . 4 + 3) mod 7 ≡ 5 → N' = 4.655; 7|N' e N
Esta característica também é muito importante e todos os pesquisadores que tentaram criar regras de divisibilidade por 7,  a utilizaram intuitivamente.
Digo intuitivamente porque ainda hoje é comum verificarmos, em sites especializados, estudiosos com o grau de Ph.D. se referirem a ela como truque (trick) e, aparentemente desconhecendo o critério geral de divisibilidade criado por Pascal, porque prometem mas nunca revelam porque o truque funciona.
Exemplos da aplicação dessa característica aos testes (digo testes e não regras) de divisibilidade por 7 criados por alguns estudiosos ao longo da História da Teoria dos Números:
a) multiplicar o valor do primeiro dígito de um número por 3 e adicionar o produto ao valor do dígito seguinte, eliminando o primeiro;
N = 154; 3 . 1 + 5 = 8 N' = 84; 7|84 e N
Ordem dos multiplicadores 3, 1 e 5.
b) multiplicar o valor do primeiro dígito por 2 e adicionar o produto ao número formado pelos dois dígitos subseqüentes, eliminando o primeiro dígito:
N = 154; 2 . 1 + 54 = 56; 7|56 e N
Ordem dos multiplicadores 2, 3 e 1.
c) multiplicar o valor do dígito da unidade por 2 e subtrair o produto do número formado pelos dígitos da centena e da dezena:
N = 154; 2 . 4 = 8; 15 - 8 = 7; 7|7 e N
Neste caso, multiplicar por 2 e subtrair do número antecedente é equivalente a multiplicar por 5 em módulo 7.
Observe-se que - ( 2 . 4) mod 7 ≡ 6 e que (5 . 4) mod 7 ≡ 6.
Ordem dos multiplicadores 3, 1 e 5. 
Parece que este é o teste favoritos dos matemáticos; prefiro a minha versão em módulo 7, apesar de continuar sendo um mero teste.
d) multiplicar o valor do dígito da unidade por 4 e adicioná-lo ao valor do dígito da centena, eliminando-se o dígito da unidade:
N = 154; (4 . 4 + 1) mod 7 ≡ 3; N' = 35; 7|35 e N
Ordem dos multiplicadores: 1, 5 e 4.
Como se observa, conhecendo-se e aplicando-se o critério geral de divisibilidade de Pascal, é fácil entender porque os "truques" inexplicáveis podem ser explicados.
O critério criado por Pascal revelou-se moroso, apesar de teoricamente perfeito. Os estudiosos, ao que parece, nunca se preocuparam em torná-lo operacional. Meus estudos, como se verificará, conferiram operacionalidade ao critério de Pascal.

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