segunda-feira, 20 de agosto de 2012

6 - CRIAÇÃO DE REGRAS VERDADEIRAS DE DIVISIBILIDADE POR 7

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Solicito que sigam a ordem numérica dos títulos, para um melhor acompanhamento das matérias.

COMO CRIAR REGRAS VERDADEIRAS DE DIVISIBILIDADE POR 7

É extremamente fácil criar regras verdadeiras de divisibilidade por 7 mediante a utilização do material aqui publicado.

É importante salientar que as regras cujas criações serão apresentadas (e que poderão ser criadas por internautas interessados) já surgem convalidadas pelo critério geral de divisibilidade de Pascal porque os respectivos algoritmos sempre se fundamentarão na sequência de multiplicadores (restos) determinados pelo critério de Pascal para o número 7: ...1,5,4,6,2,3,1,5, ...  4,6,2,3,1; e a validade do critério geral de divisibilidade já foi demonstrado pelo próprio Pascal.

Para a criação de uma regra é necessário inicialmente escolher os multiplicadores que serão utilizados; a utilização de três multiplicadores gera algoritmos bastante simples. As tentativas de criação de regras de divisibilidade por 7 ao longo da História da Teoria dos Números quase sempre incorreram no erro de utilizar apenas dois multiplicadores, o que as torna lentas porque a cada aplicação do algoritmo apenas um dígito é eliminado; os próprios autores dessas quase-regras, ao que tudo indica, não percebiam que seus truques, às vezes chamados indevidamente de regras, se fundamentavam na aplicação de dois multiplicadores de Pascal (2 e 1; 3 e 1; 1 e 5).  Considero ideal a utilização de três multiplicadores porque torna a aplicação do algoritmo mais rápida ao eliminar três dígitos de uma só vez.

É necessário um toque de criatividade na escolha dos multiplicadores porque há multiplicadores, como no caso da sequência 3 e 1 (que não requer qualquer cálculo) ou 4 e 6 (que é resolvida através de uma simples operação), cuja aplicação pode ser agilizada sem perda da exatidão do resultado.

A utilização da Aritmética Modular e da tabuada em módulo 7 também facilitam grandemente o trabalho de criação de algoritmos e de sua aplicação.

A utilização do que denomino “oposto modular” também é fundamental para a ligação da aplicação do algoritmo entre as diversas classes do número verificado, quando são utilizados três multiplicadores.

Para melhor ilustrar o efeito da aplicação do “oposto modular” na passagem de uma classe de um número para outra, vou utilizar o seguinte exemplo:

N = 648.382

A aplicação da primeira regra verdadeira de divisibilidade por 7 (ver matéria), criada no ano de 2.005, é efetuada da seguinte maneira:

Primeira classe: (5) + 6 + 4 + 8 + (4) = 27 cujo resultado é equivalente à aplicação dos multiplicadores 3, 1 e 5 aos respectivos dígitos: 3 . 6 + 1 . 4 + 5 . 8 = 62, sendo que 27 mod 7 ≡ 62 mod 7.

Ao utilizarmos o “oposto modular”, invertendo o sinal do resultado obtido, automaticamente são alterados os multiplicadores utilizados na primeira classe do número.

Observe-se que – 27 mod 7 ≡ 1 equivale à aplicação dos multiplicadores 4, 6 e 2 aos mesmos dígitos da primeira classe:

4 . 6 + 6 . 4 + 2 . 8 = 64 porque 64 mod 7 ≡ 1 ≡  - 27 mod 7

Como a classe seguinte será submetida à aplicação dos multiplicadores 3, 1 e 5, o efeito da utilização do oposto modular, no caso de divisibilidade por 7, é o de aplicar a um número de seis dígitos, todos os multiplicadores estabelecidos pelo critério geral de divisibilidade de Pascal, que neste caso são: 4, 6, 2, 3, 1 e 5. Lembrando sempre que não é necessária a aplicação rigorosa dos multiplicadores em relação à unidade, dezena etc. porque quando o número é divisível por 7 esse rigor é desnecessário: isto já foi explicado anteriormente.

Finalizando a aplicação da regra para a segunda classe de N, temos:

1 + (6) + 3 + 8 + 2 + (1) = 21; 7|21 e N

Em seguida serão apresentadas algumas regras verdadeiras de divisibilidade por 7 que foram criadas de acordo com os critérios acima apresentados.

REGRA DIDÁTICA

Nosso primeiro exemplo consistirá na criação de uma regra que denominarei como “Regra Didática” porque é de aplicação muito simples, sua descrição e seu algoritmo são fáceis de serem lembrados. Trata-se de uma regra ideal para ser incluída na matéria sobre Divisibilidade dos livros de Matemática para suprir a constrangedora lacuna representada pela inexistência de uma regra verdadeira de divisibilidade por 7.

Mudando-se o que deve ser mudado, esta regra é aplicável também aos números 11 e 13.

Para a criação desta regra foi escolhida a sequência de multiplicadores: 1, 5, 4 e 6 que serão aplicados, da direita para a esquerda, aos quatro últimos dígitos do número cuja divisibilidade por 7 será verificada.

Sendo N = a.bcd, o algoritmo é o seguinte: (- cd mod 7 + a) mod 7

Lembrar sempre que 1) – cd mod 7 6 cd e que 6 cd mod 7 (4 c + 6 d) mod 7 e 2) que a adição de um produto ao valor do dígito cujo multiplicador é 1 não altera a divisibilidade de N por 7. (isto já foi mostrado anteriormente).

A aplicação do algoritmo para números de três e quatro dígitos:

N = 644 Ø644; - 44 mod 7 + Ø 5 56; 7|56 e N

N = 6.986; (- 86 mod 7 + 6) mod 7 4 49; 7|49 e N

Obs.: 1) quando o número tiver apenas três dígitos “a” é igual a zero.

          2) cd é eliminado e, quando o número for extenso, deve ser eliminado a cada aplicação do algoritmo.

Aplicação do algoritmo para números mais extensos:

N = 65.199; (- 99 mod 7 + 5) mod 7 4 641; - 41 mod 7 + Ø 1 16; 7ł16 e N

N = 964.381.243; ( - 43 mod 7 + 1) mod 7 Ø; (- 2 mod 7 + 3) 1; ( - 18 mod 7 + 6) mod 7 2;

( - 24 mod 7 + Ø ) 4 49; 7|49 e N

N = 165. 382; (- 82 mod 7 + 5) mod 7 Ø; ( - 3 mod 7 + 1) mod 7 5 56; 7|56 e N

A aplicação da regra a este último exemplo em linguagem comum:

82 para 84 é igual a 2; 2 + 5 = 7 (Ø); 3 para 7 é igual a 4 e 4 + 1 = 5. Incrivelmente rápida e precisa.

Elegi essa regra como “Regra Didática” porque a descrição de sua aplicação também é extremamente simples.

Descrição: verificar a diferença entre o número formado pelos dois dígitos finais de um número e o múltiplo de 7 imediatamente superior a ele; eliminar os dois dígitos finais e adicionar a diferença obtida ao dígito do milhar, subtraindo do resultado obtido o múltiplo de 7 imediatamente inferior a ele. Se o número for mais extenso, repetir a aplicação do procedimento até ser obtido um número de dois dígitos.

Igualmente simples é a seguinte variação do algoritmo:

[3 . (- cd mod 7) + b] mod 7

Houve um deslocamento dos multiplicadores de Pascal que, neste caso, são: 3, 1, 5 e 4.

Observe-se que 3 . 6  mod 7 4

Um último exemplo com esse novo algoritmo:

N = 46.354; [3 . ( - 54 mod 7) + 3 ] mod 7 ≡ 2; [3 . ( - 62 mod 7) + 4] mod 7 ≡ 7; 7|7 e N

Obs.: Quem se habituar ao primeiro algoritmo terá dificuldade ao aplicar este último, pelo menos inicialmente.

REGRA PLENA

O nome dessa regra deriva do fato de que ela utiliza todos os multiplicadores de Pascal, em sequência, da esquerda para a direita: 5,4,6,2,3 e 1, aplicados rigorosamente na ordem por ele determinada: 1 para o dígito da unidade, 3 para o dígito da dezena, 2 para o dígito da centena etc.

N = abc.def

Algoritmo: a + (y) +(- bc) mod 7 + (x) + ef

a + (y) = 5 . a; - bc mod 7 ≡ (4 b + 6 c); (x) = (2 . d) mod 7 e ef ≡ (3 . e + f) mod 7; tudo isso já foi devidamente explicado anteriormente.

Se houver dúvidas em relação a (x) e (y), favor rever a tabuada em módulo 7.

N = 836.486; iniciar por – bc mod 7

Para facilitar pode-se substituir 86 por 16 porque ambos são equivalentes em módulo 7.

- 36 mod 7 ≡ 6; 6 + 8 + (4) + 1 + 16 = 35; 7|35 e N

Em linguagem comum: 36 para 42 = 6; 6 + 8 + (4) + 1 + 16 = 35.

Esta regra foi incluída porque considerei interessante demonstrar a possibilidade de se criar uma regra contendo todos os multiplicadores do critério estabelecido por Pascal.

Para números mais extensos, ou menos extensos, há a necessidade de certa habilidade por parte de quem desejar aplicá-la.

OUTRAS REGRAS

1) Esta regra utiliza os multiplicadores 4, 6 e 2 aplicados da esquerda para a direita:

N = abc; algoritmo: (- ab mod 7 + (x) ) mod 7

N = 651; (- 65 mod 7 + (2) ) mod 7 = Ø; Ø|7 e N

Para números mais extensos esta regra dispensa a utilização do “oposto modular” porque a sequência de multiplicadores de Pascal prossegue com 3, 1 e 5. Neste caso basta adicionar o resultado obtido ao número formado pelos dois dígitos seguintes e voltar a aplicar o algoritmo, como é mostrado no exemplo seguinte:

N = 295.834; (- 29 mod 7 + (3) ) mod 7 = 2; [- (2 + 83) mod 7 + (1) ] mod 7 ≡ Ø; Ø|7 e N

Se a primeira classe de N for composta por apenas 1 ou 2 dígitos, a aplicação da regra é efetuada das seguintes formas:

N = 36.285; ( - 3 mod 7 + (5) ) mod 7 = 2;  [ - (2 + 28) mod 7 + (3) ] mod 7 ≡ 1; 1ł7 e N

N = 6.433; [ ( - (5) + 43) mod 7 + 6 ] mod 7 ≡ Ø; Ø|7 e N*

*Neste caso (x) foi adicionado diretamente ao número formado pelos dois dígitos seguintes.

 

2) Esta regra utiliza os multiplicadores 3, 1 e 5, aplicados da esquerda para a direita:

N = abc; algoritmo: - (ab + c + (y) ) mod 7

N = 868; - (86 + 8 + (4) ) mod 7 ≡ Ø; Ø|7 e N

Na aplicação deste algoritmo está implícita a aplicação do “oposto modular” e o resultado da classe anterior deve ser adicionado ao número formado pelos dois dígitos iniciais da classe seguinte. Observe-se que o oposto da sequência 3, 1 e 5 é 4, 6 e 2, o que justifica a adição ao número formado pelos dois dígitos seguintes, pois após 4, 6 e 2 é retomada a sequência 3, 1 e 5.

N = 243.152; - (24 + 3 + (5) ) mod 7 ≡ 3; - ( 3 + 15 + 2 + (1) ) mod 7 ≡ Ø; Ø|7 e N

 

3) Para encerrar será apresentada uma variedade de formas de multiplicar números de dois, três e quatro dígitos por 2, pois quanto mais extenso o número que se consiga multiplicar por 2 em módulo 7, mais simples se torna a criação de uma regra de divisibilidade por 7.

Multiplicar um número de dois dígitos por 2 em módulo 7: N = ab; - (a + b + (y) ) mod 7

N = 15; - (1 + 5 + (6) ) mod 7 ≡ 2                N = 38; - ( 3 + 8 + 4) mod 7 ≡ 6;

N = 67; - (6 + 7 + (Ø)) mod 7 ≡ 1 ou simplesmente – 6 mod 7 ≡ 1

N = 89; - ( 8 + 9 + (1) ) mod 7 ≡ 3

Multiplicar um número de três dígitos por 2 em módulo 7: N = abc; - ( ab + c + (y) ) mod 7

N = 155; - ( 15 + 5 + (6) ) mod 7 ≡ 2          N = 388; - ( 38 + 8 + (4) ) mod 7 ≡ 6

N = 466; - (46 + 6 + (3) ) mod 7 ≡ 1           N = 621; - ( 62 + 1 + (4) ) mod 7 ≡ 3

Multiplicar um número de quatro dígitos por 2 em módulo 7:

N = a.bcd; - ( (x) + bc + d + (y) ) mod 7

N = 1.555; - ( (2) + 55 + 5 + ( 6) ) mod 7  ≡ 2

N = 4.616; - ( (1) + 61 + 6 + (3) ) mod 7 ≡ 6

N = 8.964; - ( (2) + 96 + 4 + (2) ) mod 7 ≡ 1

N = 5.269; - ( (3) + 26 + 9 + (1) ) mod 7 ≡ 3

Em qualquer caso, obtido o valor de um número qualquer multiplicado por 2, o resultado deverá ser adicionado ao número formado pelos dois dígitos subsequentes, excluindo-se os dígitos que formam o número que foi multiplicado por 2:

N = 1.554; - ( 1 + 5 + (6) ) mod 7 + 54 = 56; 7|56 e N

N = 4.868; - ( 4 + 8 + (4) ) mod 7 + 68 = 73; 7ł73 e N → resto = 3

N = 61.923; - ( 61 + 9 + (1) ) mod 7 + 23 = 29; 7ł29 e N → resto = 1

N = 96.348; - ( 96 + 3 + (5) ) mod 7 + 48 = 49; 7|49 e N

N = 652.438; - ( (5) + 52 + 4 + (2) ) mod 7 + 38 = 38; 7ł38 e N → resto = 3

N = 936.513; - ( (4) + 36 + 5 + (6) ) mod 7 + 13 = 18; 7ł18 e N → resto = 4

Quando for necessário efetuar a verificação da divisibilidade por 7 de números mais extensos é necessário combinar adequadamente as regras acima.

Minha pesquisa se estendeu apenas à multiplicação, em módulo 7, de números de quatro dígitos por 2. Outros pesquisadores poderão criar formas de obter o mesmo resultado para números de cinco ou mais dígitos; quanto mais extenso o número cuja multiplicação por 2 seja obtida rapidamente, mais extensos serão os números a serem verificados.

Outra possibilidade interessante, não explorada por mim, refere-se à multiplicação de números extensos por 3 porque, neste caso, o resultado obtido deve ser adicionado ao valor do dígito posicionado imediatamente à direita do número extenso multiplicado por 2.

Com as duas sugestões acima, endereçadas a possíveis pesquisadores, encerro as considerações que considero úteis à criação de novas regras verdadeiras de divisibilidade por 7.

 

 

 

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