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Solicito que sigam a ordem numérica dos títulos, para um melhor acompanhamento das matérias.
COMO CRIAR REGRAS
VERDADEIRAS DE DIVISIBILIDADE POR 7
É extremamente fácil criar regras
verdadeiras de divisibilidade por 7 mediante a utilização do material aqui publicado.
É importante salientar que as
regras cujas criações serão apresentadas (e que poderão ser criadas por
internautas interessados) já surgem convalidadas pelo critério geral de
divisibilidade de Pascal porque os respectivos algoritmos sempre se
fundamentarão na sequência de multiplicadores (restos) determinados pelo
critério de Pascal para o número 7: ...1,5,4,6,2,3,1,5, ... 4,6,2,3,1; e a validade do critério geral de
divisibilidade já foi demonstrado pelo próprio Pascal.
Para a criação de uma regra é
necessário inicialmente escolher os multiplicadores que serão utilizados;
a utilização de três multiplicadores gera algoritmos bastante simples. As tentativas de criação de regras de divisibilidade
por 7 ao longo da História da Teoria dos Números quase sempre incorreram no
erro de utilizar apenas dois multiplicadores, o que as torna lentas porque a
cada aplicação do algoritmo apenas um dígito é eliminado; os próprios autores
dessas quase-regras, ao que tudo indica, não percebiam que seus truques, às
vezes chamados indevidamente de regras, se fundamentavam na aplicação de dois
multiplicadores de Pascal (2 e 1; 3 e 1; 1 e 5). Considero ideal a utilização de três
multiplicadores porque torna a aplicação do algoritmo mais rápida ao eliminar
três dígitos de uma só vez.
É necessário um toque de
criatividade na escolha dos multiplicadores porque há multiplicadores, como no
caso da sequência 3 e 1 (que não requer qualquer cálculo) ou 4 e 6 (que é
resolvida através de uma simples operação), cuja aplicação pode ser agilizada
sem perda da exatidão do resultado.
A utilização da Aritmética
Modular e da tabuada em módulo 7 também facilitam grandemente o trabalho de
criação de algoritmos e de sua aplicação.
A utilização do que denomino
“oposto modular” também é fundamental para a ligação da aplicação do algoritmo
entre as diversas classes do número verificado, quando são utilizados três
multiplicadores.
Para melhor ilustrar o efeito da
aplicação do “oposto modular” na passagem de uma classe de um número para
outra, vou utilizar o seguinte exemplo:
N = 648.382
A aplicação da primeira regra
verdadeira de divisibilidade por 7 (ver matéria), criada no ano de 2.005, é
efetuada da seguinte maneira:
Primeira classe: (5) + 6 + 4 + 8
+ (4) = 27 cujo resultado é equivalente à aplicação dos multiplicadores 3, 1 e
5 aos respectivos dígitos: 3 . 6 + 1 . 4 + 5 . 8 = 62, sendo que 27 mod 7 ≡ 62 mod
7.
Ao utilizarmos o “oposto modular”,
invertendo o sinal do resultado obtido, automaticamente são alterados os
multiplicadores utilizados na primeira classe do número.
Observe-se que – 27 mod 7 ≡ 1 equivale
à aplicação dos multiplicadores 4, 6 e 2 aos mesmos dígitos da primeira classe:
4 . 6 + 6 . 4 + 2 . 8 = 64 porque 64
mod 7 ≡ 1 ≡ - 27 mod 7
Como a classe seguinte será submetida
à aplicação dos multiplicadores 3, 1 e 5, o efeito da utilização do oposto
modular, no caso de divisibilidade por 7, é o de aplicar a um número de seis
dígitos, todos os multiplicadores estabelecidos
pelo critério geral de divisibilidade de Pascal, que neste caso são: 4, 6,
2, 3, 1 e 5. Lembrando sempre que não é necessária a aplicação rigorosa dos
multiplicadores em relação à unidade, dezena etc. porque quando o número é
divisível por 7 esse rigor é desnecessário: isto já foi explicado
anteriormente.
Finalizando a aplicação da regra para
a segunda classe de N, temos:
1 + (6) + 3 + 8 + 2 + (1) = 21; 7|21 e
N
Em seguida serão apresentadas algumas
regras verdadeiras de divisibilidade por 7 que foram criadas de acordo com os
critérios acima apresentados.
REGRA DIDÁTICA
Nosso primeiro exemplo consistirá
na criação de uma regra que denominarei como “Regra Didática” porque é de
aplicação muito simples, sua descrição e seu algoritmo são fáceis de serem lembrados.
Trata-se de uma regra ideal para ser incluída na matéria sobre Divisibilidade
dos livros de Matemática para suprir a constrangedora lacuna representada pela
inexistência de uma regra verdadeira de divisibilidade por 7.
Mudando-se o que deve ser mudado,
esta regra é aplicável também aos números 11 e 13.
Para a criação desta regra foi
escolhida a sequência de multiplicadores: 1, 5, 4 e 6 que serão aplicados, da
direita para a esquerda, aos quatro últimos dígitos do número cuja
divisibilidade por 7 será verificada.
Sendo N = a.bcd, o algoritmo é o
seguinte: (- cd mod 7 + a) mod 7
Lembrar sempre que 1) – cd mod 7 ≡ 6
cd e que 6 cd mod 7 ≡ (4 c + 6 d) mod 7 e 2) que a adição de um produto ao
valor do dígito cujo multiplicador é 1 não altera a divisibilidade de N por 7.
(isto já foi mostrado anteriormente).
A aplicação do algoritmo para
números de três e quatro dígitos:
N = 644 →
Ø644;
- 44 mod 7 + Ø ≡ 5 → 56; 7|56 e N
N = 6.986; (- 86 mod 7 + 6) mod 7
≡
4 →
49; 7|49 e N
Obs.: 1) quando o número tiver
apenas três dígitos “a” é igual a zero.
2) cd é eliminado e, quando o número
for extenso, deve ser eliminado a cada aplicação do algoritmo.
Aplicação do algoritmo para
números mais extensos:
N = 65.199; (- 99 mod 7 + 5) mod
7 ≡
4 →
641; - 41 mod 7 + Ø ≡ 1 → 16; 7ł16 e N
N = 964.381.243; ( - 43 mod 7 + 1) mod 7 ≡ Ø; (- 2 mod 7 + 3) ≡ 1; ( - 18 mod 7 + 6) mod 7 ≡ 2;
( - 24 mod 7 + Ø )
≡
4 →
49; 7|49 e N
N = 165. 382; (- 82 mod 7 + 5)
mod 7 ≡
Ø;
( - 3 mod 7 + 1) mod 7 ≡ 5 → 56; 7|56 e N
A aplicação da regra a este
último exemplo em linguagem comum:
82 para 84 é igual a 2; 2 + 5 = 7
(Ø);
3 para 7 é igual a 4 e 4 + 1 = 5. Incrivelmente rápida e precisa.
Elegi essa regra como “Regra
Didática” porque a descrição de sua aplicação também é extremamente simples.
Descrição: verificar a diferença
entre o número formado pelos dois dígitos finais de um número e o múltiplo de 7
imediatamente superior a ele; eliminar os dois dígitos finais e adicionar a
diferença obtida ao dígito do milhar, subtraindo do resultado obtido o múltiplo
de 7 imediatamente inferior a ele. Se o número for mais extenso, repetir a
aplicação do procedimento até ser obtido um número de dois dígitos.
Igualmente simples é a seguinte
variação do algoritmo:
[3 . (- cd mod 7) + b] mod 7
Houve um deslocamento dos
multiplicadores de Pascal que, neste caso, são: 3, 1, 5 e 4.
Observe-se que 3 . 6 mod 7 ≡ 4
Um último exemplo com esse novo
algoritmo:
N = 46.354; [3 . ( - 54 mod 7) +
3 ] mod 7 ≡
2; [3 . ( - 62 mod 7) + 4] mod 7 ≡ 7; 7|7 e N
Obs.: Quem se habituar ao primeiro
algoritmo terá dificuldade ao aplicar este último, pelo menos inicialmente.
REGRA
PLENA
O nome dessa regra deriva do fato de que
ela utiliza todos os multiplicadores de Pascal, em sequência, da esquerda para
a direita: 5,4,6,2,3 e 1, aplicados rigorosamente na ordem por ele determinada:
1 para o dígito da unidade, 3 para o dígito da dezena, 2 para o dígito da
centena etc.
N = abc.def
Algoritmo: a + (y) +(- bc) mod 7 + (x)
+ ef
a + (y) = 5 . a; - bc mod 7 ≡ (4 b + 6
c); (x) = (2 . d) mod 7 e ef ≡ (3 . e + f) mod 7; tudo isso já foi devidamente
explicado anteriormente.
Se houver dúvidas em relação a (x) e
(y), favor rever a tabuada em módulo 7.
N = 836.486; iniciar por – bc mod 7
Para facilitar pode-se substituir 86
por 16 porque ambos são equivalentes em módulo 7.
- 36 mod 7 ≡ 6; 6 + 8 + (4) + 1 + 16 =
35; 7|35 e N
Em linguagem comum: 36 para 42 = 6; 6
+ 8 + (4) + 1 + 16 = 35.
Esta regra foi incluída porque
considerei interessante demonstrar a possibilidade de se criar uma regra
contendo todos os multiplicadores do critério estabelecido por Pascal.
Para números mais extensos, ou menos
extensos, há a necessidade de certa habilidade por parte de quem desejar
aplicá-la.
OUTRAS REGRAS
1) Esta regra utiliza os
multiplicadores 4, 6 e 2 aplicados da esquerda para a direita:
N = abc; algoritmo: (- ab mod 7 + (x)
) mod 7
N = 651; (- 65 mod 7 + (2) ) mod 7 =
Ø; Ø|7 e N
Para números mais extensos esta regra
dispensa a utilização do “oposto modular” porque a sequência de multiplicadores
de Pascal prossegue com 3, 1 e 5. Neste caso basta adicionar o resultado obtido
ao número formado pelos dois dígitos seguintes e voltar a aplicar o algoritmo,
como é mostrado no exemplo seguinte:
N = 295.834; (- 29 mod 7 + (3) ) mod 7
= 2; [- (2 + 83) mod 7 + (1) ] mod 7 ≡ Ø; Ø|7 e N
Se a primeira classe de N for composta
por apenas 1 ou 2 dígitos, a aplicação da regra é efetuada das seguintes formas:
N = 36.285; ( - 3 mod 7 + (5) ) mod 7
= 2; [ - (2 + 28) mod 7 + (3) ] mod 7 ≡ 1;
1ł7 e N
N = 6.433; [ ( - (5) + 43) mod 7 + 6 ]
mod 7 ≡ Ø; Ø|7 e N*
*Neste caso (x) foi adicionado
diretamente ao número formado pelos dois dígitos seguintes.
2) Esta regra utiliza os
multiplicadores 3, 1 e 5, aplicados da esquerda para a direita:
N = abc; algoritmo: - (ab + c + (y) )
mod 7
N = 868; - (86 + 8 + (4) ) mod 7 ≡ Ø;
Ø|7 e N
Na aplicação deste algoritmo está
implícita a aplicação do “oposto modular” e o resultado da classe anterior deve
ser adicionado ao número formado pelos dois dígitos iniciais da classe
seguinte. Observe-se que o oposto da sequência 3, 1 e 5 é 4, 6 e 2, o que
justifica a adição ao número formado pelos dois dígitos seguintes, pois após 4,
6 e 2 é retomada a sequência 3, 1 e 5.
N = 243.152; - (24 + 3 + (5) ) mod 7 ≡
3; - ( 3 + 15 + 2 + (1) ) mod 7 ≡ Ø; Ø|7 e N
3) Para encerrar será apresentada uma
variedade de formas de multiplicar números de dois, três e quatro dígitos por
2, pois quanto mais extenso o número que se consiga multiplicar por 2 em módulo
7, mais simples se torna a criação de uma regra de divisibilidade por 7.
Multiplicar um número de dois dígitos
por 2 em módulo 7: N = ab; - (a + b + (y) ) mod 7
N = 15; - (1 + 5 + (6) ) mod 7 ≡ 2 N = 38; - ( 3 + 8 + 4) mod 7 ≡ 6;
N = 67; - (6 + 7 + (Ø)) mod 7 ≡ 1 ou
simplesmente – 6 mod 7 ≡ 1
N = 89; - ( 8 + 9 + (1) ) mod 7 ≡ 3
Multiplicar um número de três dígitos
por 2 em módulo 7: N = abc; - ( ab + c + (y) ) mod 7
N = 155; - ( 15 + 5 + (6) ) mod 7 ≡ 2 N = 388; - ( 38 + 8 + (4) ) mod 7 ≡ 6
N = 466; - (46 + 6 + (3) ) mod 7 ≡ 1 N = 621; - ( 62 + 1 + (4) ) mod 7 ≡ 3
Multiplicar um número de quatro
dígitos por 2 em módulo 7:
N = a.bcd; - ( (x) + bc + d + (y) )
mod 7
N = 1.555; - ( (2) + 55 + 5 + ( 6) )
mod 7 ≡ 2
N = 4.616; - ( (1) + 61 + 6 + (3) )
mod 7 ≡ 6
N = 8.964; - ( (2) + 96 + 4 + (2) )
mod 7 ≡ 1
N = 5.269; - ( (3) + 26 + 9 + (1) ) mod
7 ≡ 3
Em qualquer caso, obtido o valor de um
número qualquer multiplicado por 2, o resultado deverá ser adicionado ao número
formado pelos dois dígitos subsequentes, excluindo-se os dígitos que formam o
número que foi multiplicado por 2:
N = 1.554; - ( 1 + 5 + (6) ) mod 7 +
54 = 56; 7|56 e N
N = 4.868; - ( 4 + 8 + (4) ) mod 7 +
68 = 73; 7ł73 e N → resto = 3
N = 61.923; - ( 61 + 9 + (1) ) mod 7 +
23 = 29; 7ł29 e N → resto = 1
N = 96.348; - ( 96 + 3 + (5) ) mod 7 +
48 = 49; 7|49 e N
N = 652.438; - ( (5) + 52 + 4 + (2) )
mod 7 + 38 = 38; 7ł38 e N → resto = 3
N = 936.513; - ( (4) + 36 + 5 + (6) )
mod 7 + 13 = 18; 7ł18 e N → resto = 4
Quando for necessário efetuar a
verificação da divisibilidade por 7 de números mais extensos é necessário combinar
adequadamente as regras acima.
Minha pesquisa se estendeu apenas à
multiplicação, em módulo 7, de números de quatro dígitos por 2. Outros
pesquisadores poderão criar formas de obter o mesmo resultado para números de
cinco ou mais dígitos; quanto mais extenso o número cuja multiplicação por 2
seja obtida rapidamente, mais extensos serão os números a serem verificados.
Outra possibilidade interessante, não
explorada por mim, refere-se à multiplicação de números extensos por 3 porque,
neste caso, o resultado obtido deve ser adicionado ao valor do dígito
posicionado imediatamente à direita do número extenso multiplicado por 2.
Com as duas sugestões acima,
endereçadas a possíveis pesquisadores, encerro as considerações que considero
úteis à criação de novas regras verdadeiras de divisibilidade por 7.
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