ANTES DE LER O CONTEÚDO, POR FAVOR, ASSISTA A ESTE VÍDEO:
NESTE ESPAÇO SERÁ APRESENTADO,
PASSO A PASSO, O TRABALHO QUE CONSIDERO O MAIS COMPLETO SOBRE DIVISIBILIDADE
POR 7 ATÉ ENTÃO REALIZADO. CONFIRA!
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Meu nome é Sílvio Moura Velho,
sou pesquisador independente (não ortodoxo) e há aproximadamente 20 anos
dedico-me, de maneira intermitente, à pesquisa de regras de divisibilidade por
7. Não sou matemático, mas tenho muita facilidade com números.
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Minha pesquisa gerou os seguintes resultados:
1) Inicialmente criei o que denominei métodos
de divisibilidade por 7;
2) Posteriormente passei a criar regras de
divisibilidade por 7;
3) Tornei operacional o critério geral de
divisibilidade criado e demonstrado por Pascal em 1.654;
4) Atualmente aperfeiçoei um roteiro voltado à
geração de algoritmos cuja aplicação permite verificar rapidamente se um dado
número (de qualquer extensão) é divisível por 7;
5) Criei uma tabuada em módulo 7 que é muito
útil na geração dos algoritmos acima mencionados;
6) Na realidade, fiz várias descobertas
relacionadas ao número 7, que se mostraram muito úteis à minha pesquisa e que
podem ser aplicadas à divisibilidade de outros números;
7) Escrevi há alguns anos um livro, ainda
inédito, que registrei no INPI, intitulado "Divisibilidade por sete: o fim
de um mito?" que aborda tudo o que será publicado neste blog;
8) Criei um site para a divulgação de meus
métodos que atualmente se encontra desativado e
9) Publiquei com a denominação de método a
primeira regra verdadeira de divisibilidade por 7 em meu blog denominado
"primeasdivisor" no ano de 2.005; pretendo retomar a edição de novas
postagens para atualizá-lo.
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UMA REGRA DE DIVISIBILIDADE APLICÁVEL
AOS
NÚMEROS 7, 11 E 13
Apresentarei, antes de iniciar o relato de
minhas pesquisas, uma regra de divisibilidade que, mudando o que deve ser
mudado, é aplicável aos números 7, 11 e 13.
O algoritmo dessa regra, para verificar a
divisibilidade por 7, é o seguinte:
- (2a + bc) mod 7 + ..., que deve ser repetido sucessivamente a cada uma
das classes do número submetido à aplicação da regra, adicionando-se o
resultado correspondente à classe anterior à classe subseqüente. Quando a
classe inicial não for composta por todas as ordens, considerar as ordens
ausentes como iguais a zero. Cada classe deve ser eliminada à medida que a
aplicação da regra progredir até que seja atingida a última classe; quando esta
classe for alcançada, utilizar o algoritmo com o sinal positivo. Se o número de
um ou dois dígitos obtido após o encerramento do processo for múltiplo de 7, o
número verificado também o é. Caso contrário, esse número, representado em
módulo 7, corresponde ao resto da divisão do número verificador por 7.
A aplicação do critério geral de divisibilidade de Pascal, que será abordado em futuras postagens, determina que em relação à divisibilidade por 7, para verificar se um número de três dígitos é divisível por 7, é necessário multiplicar o valor do dígito da unidade por 1, o valor do dígito da dezena por 3 e o valor do dígito da centena por 2. Se a soma dos produtos assim obtidos resultar em um número múltiplo de sete, o número submetido à verificação é divisível por 7; caso contrário, o resultado em módulo 7 corresponde ao resto da divisão por 7 do número verificado.
Observe-se que, em módulo 7, sendo N = abc, a soma dos produtos de 2 . a + 3 . b + 1 . c ≡ 2 . a + bc
Seja N = 154; (2 . 1 + 3 . 5 + 1 . 4) mod 7 ≡ (2 . 1 + 54) mod 7 ≡ Ø, confirmando-se que o procedimento é correto.
A aplicação do critério geral de divisibilidade de Pascal, que será abordado em futuras postagens, determina que em relação à divisibilidade por 7, para verificar se um número de três dígitos é divisível por 7, é necessário multiplicar o valor do dígito da unidade por 1, o valor do dígito da dezena por 3 e o valor do dígito da centena por 2. Se a soma dos produtos assim obtidos resultar em um número múltiplo de sete, o número submetido à verificação é divisível por 7; caso contrário, o resultado em módulo 7 corresponde ao resto da divisão por 7 do número verificado.
Observe-se que, em módulo 7, sendo N = abc, a soma dos produtos de 2 . a + 3 . b + 1 . c ≡ 2 . a + bc
Seja N = 154; (2 . 1 + 3 . 5 + 1 . 4) mod 7 ≡ (2 . 1 + 54) mod 7 ≡ Ø, confirmando-se que o procedimento é correto.
Exemplos:
N = 6.552; - 6 mod 7 + 2 . 5 + 52 = 63 →
7|N
N = 486.295; - (2 . 4 + 86) mod 7
≡ 4; (4 + 2 . 2 + 95) mod 7 ≡ 5 = resto e 7łN
Mentalmente, a operação é
extremamente rápida. Vejamos como seria a aplicação do algoritmo com uma linguagem
comum:
6 para 7 é 1 + 5 . 2 + 52 = 63 (primeiro exemplo)
4 . 2 + 86 = 94; 94 para 98 são
4; 4 + 2 . 2 + 95 = 103 e 103 – 98 = 5 (segundo exemplo)
Aplicando-se um recurso que será
mostrado em outra postagem, a tabuada em módulo 7, sabendo-se que, em qualquer
número de dois dígitos múltiplo de 7, o valor do dígito correspondente à dezena
é sempre o dobro do valor do dígito da unidade, o algoritmo poderia ser
simplificado, substituindo-se “2a” por (x)
que é a forma escolhida para representar o dígito da dezena inserido para
eliminar a multiplicação de “a” por 2 e temos o seguinte algoritmo:
- ((x) + bc) mod 7 +
..., cuja aplicação é a seguinte:
N = 964.292
- ((4) + 64) mod 7 = 2;
(2 + (4) + 92) mod 7 ≡ Ø; 7|N
N = 692.348
- ((5)+ 92) mod 7 ≡ 1;
(1 +(6)+ 48) mod 7 ≡ 6 = r e 7łN
O recurso de utilizar o algoritmo
negativo tem a finalidade de efetuar automaticamente uma soma algébrica
intercalando os sinais “+” e “-“ dos
resultados representados em módulo 7 para cada uma das classes do número
verificado.
Observe-se que, atribuindo-se números às classes de um número extenso divisível
por 7, a partir de 1 da direita para a esquerda (ou vice-versa) a soma das classes ímpares é equivalente à soma das classes pares, em módulo 7.
O conjunto de explicações acima demontra porque a regra funciona.
Apesar de minha
prioridade ser a divisibilidade por 7, apresentarei dois exemplos de
divisibilidade por 11 e 13.
Divisibilidade por 11
O algoritmo utilizado para ser
aplicado à divisibilidade pode ser ligeiramente alterado, considerando que o
dígito da dezena e da unidade são iguais quando um número é divisível por 11 (neste caso "a" deve ser multiplicado por 1); e o algoritmo é o seguinte:
- (a + bc) mod 11 + ... O
restante das considerações, mudando o que deve ser mudado são semelhantes.
N = 53.823; - 53 mod
11 ≡ 2; - (2 + 8 + 23) mod 11 ≡ Ø; 11|N
N = 4.865.238; - 4
mod 11 ≡ 7; - (7 + 8 + 65) mod 11 ≡ 8;
(8 + 2 + 38) mod 11 ≡ 4 = r e 11łN
Obs.: Neste caso não houve necessidade de inclusão de (x).
Divisibilidade por 13
O algoritmo correspondente é :
- (9 a + bc) mod 13 + ... e neste caso pode ser utilizado o (x)
substituindo 9 a.
N = 43.225; - 43 mod
13 ≡ 9; (9 + (5) + 25) mod 13
≡ Ø; 13|N
N =
89.641.916; - 89 mod 13 = 2; - (2 + (2) + 41) mod 13 ≡ 7;
(7 +(3) + 16) mod 13 ≡ Ø; 13|N
(7 +(3) + 16) mod 13 ≡ Ø; 13|N
Eventual e impropriamente (x) pode representar um
número de dois dígitos, como no exemplo abaixo:
N = 462.355.892; - ((10) + 62) mod 13 ≡ 6; - (6 + (1) + 55) mod 13 ≡ 3; (3 + (7) + 92) mod 7 ≡ 11; 13 łN
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