DETALHES DA PRIMEIRA REGRA MOURA VELHO

Esta postagem se destina a esclarecer detalhes sobre a primeira regra Moura Velho de divisibilidade por 7 mencionada em vídeo recente.
Geralmente as regras Moura Velho funcionam rapidamente através de simples e sucessivos cálculos mentais e dispensam a utilização de lápis e papel.
Mudando-se o que deve ser mudado, esta regra funciona também para a divisibilidade por 11 e 13.

ALGORITMO:

N = a.bcd; a’ ≡ ( ─ cd mod 7 + a ) mod 7; cd é eliminado, resultando em um número de dois dígitos a’b; se 7|a’b então 7|N
Esta regra é aplicada aos pares de dígitos de N da direita para a esquerda.

PORQUE FUNCIONA:

─ cd mod 7 ≡ 6cd; 6cd é incluído na casa do milhar resultando numa adição de 6.000 cd; como cd é eliminado, há uma subtração de 1cd; 6.000 cd ─ cd = 5.999 cd
Como 7|5.999 a operação realizada não altera o valor de N em módulo 7. Observar que, como cd é subtraído, dois dígitos nulos devem substituir esses dígitos.

COMO FUNCIONA:

N = 8.561; ( ─ 61 mod 7 + 8 ) mod 7 ≡ 3 → 35; 7|35 e 7|N
Para números mais extensos o algoritmo deve ser repetido com o deslocamento de a.bcd da direita para a esquerda até que o último dígito à esquerda seja alcançado. Eventualmente o último par à esquerda poderá estar incompleto; neste caso o dígito “a” assume o valor zero.
N = 69.218.683; ( ─ 83 mod 7 + 8 ) mod 7 ≡ 2; → 692126; ( ─ 26 mod 7 + 2 ) mod 7 ≡ 4; → 6941;( ─ 41 mod 7 + 6 ) mod 7 ≡ 0; → 09; 7Ɨ9 e 7ƗN

DETERMINAÇÃO DO RESTO:

1)      Contar o número de pares de dígitos (n), incluindo como par, o eventual par incompleto à esquerda.
2)      Aplicar a seguinte fórmula ao resultado final:

 (RF . 2^{(n-1) mod 3}) mod 7

 
Para N = 69.218.683, n = 4 e RF = 9; (9 . 2^{(4─1) mod 3}) mod 7 ≡ ( 9 . 2⁰ ) mod 7 ≡ 2;
O resto da divisão de N por 7 é igual a 2.
 
Exemplo adicional:

N = 124.934.652; ( ─ 52 mod 7 + 4 ) mod 7 ≡ 1; → 1249316;
( ─ 16 mod 7 + 9 ) mod 7 ≡ 0; → 12403; ( ─ 3 mod 7 + 2 ) mod 7 ≡ 6; → 164;
( ─ 64 mod 7 + 0 ) mod 7 ≡ 6; → 61; 7Ɨ61 e 7ƗN
Determinação do resto: n = 5 e RF = 61; ( 61 . 2^{(5 ─ 1) mod 3} ) mod 7 ≡ (61 . 2¹) mod 7 ≡ 3
O resto da divisão de N por 7 é igual a 3.
 
Obs.: As anotações foram efetuadas somente para ilustrar a aplicação da regra; na prática elas são desnecessárias.