DETALHES DA TERCEIRA REGRA MOURA VELHO

Esta postagem se destina a esclarecer detalhes sobre a terceira regra Moura Velho de divisibilidade por 7 apresentada em vídeo.

Mudando-se o que deve ser mudado, esta regra funciona também para a divisibilidade por 13. Ela é uma variação da primeira regra Moura Velho de divisibilidade por 7 apresentada em meu primeiro vídeo (Youtube).

ALGORITMO

N = abc; abcy → 7|cy; S = ab + c + y; se 7|S então 7|N

O dígito "y" é inserido mentalmente depois do dígito "c" com o qual forma um número múltiplo de 7.

Este algoritmo deve ser aplicado repetitivamente a cada uma das classes de N. O inverso aditivo em módulo 7 de cada soma (S) deve ser adicionado ao número formado pelos dois dígitos iniciais da classe seguinte, antes de cada nova aplicação do algoritmo. Se 7|RF (resultado final) então 7|N. Se a classe inicial tiver menos de três dígitos o algoritmo deve ser aplicado parcialmente.

PORQUE FUNCIONA

Em 1 654 Pascal estabeleceu os seguintes multiplicadores em seu critério de divisibilidade por 7: ...31546231546231 que devem ser aplicados repetitivamente aos dígitos de um dado número. O número testado é divisível por 7 se a soma dos produtos obtidos também o for.

Todavia, se 7|N a soma dos produtos também é divisível por 7 se o dígito da unidade for multiplicado por qualquer outro multiplicador, desde que a ordem dos multiplicadores seja mantida. Se 7ƗN então a soma dos produtos será equivalente em módulo 7 ao valor do resto da divisão de N por 7 multiplicado pelo valor do multiplicador utilizado para a unidade. Isto ocorre porque os multiplicadores de Pascal se encontram em progressão geométrica em módulo 7.

De acordo com a tabuada em módulo 7 (assista o vídeo) que criei para desenvolver as regras Moura Velho de divisibilidade por 7 temos que: ab mod 7 ≡ ( 3a + 1b) mod 7 e que c + y ≡ 5c mod 7. Então os multiplicadores utilizados são 3, 1 e 5; e

S = 3a + 1b + 5c.

Então ─ S mod 7 ≡ 4a + 6b + 2c

Em um número maior a classe seguinte é def que submetida à aplicação do algoritmo resulta na seguinte soma de produtos:

S = 3d + 1e + 5f e o resultado da soma dos produtos obtida para ambas as classes é o seguinte: SP = 4a + 6b + 2c + 3d + 1e + 5f

A aplicação repetitiva e cumulativa do algoritmo com a intermediação do inverso aditivo de cada soma obtida resulta na aplicação repetitiva e alternada dos seguintes multiplicadores: ... 15462315462315

Isto significa que se 7|N então 7|SP e se 7ƗN então SP ≡ 5R mod 7 (R = resto)

COMO FUNCIONA

Os cálculos podem ser efetuados mentalmente com extrema rapidez. As anotações foram efetuadas apenas para ilustrar a aplicação da regra.

N = 293.526; 293(5).526(3)

29 + 3 + 5 = 37; ─ 37 mod 7 + 52 +  6 + 3 = 66; 7Ɨ66 e 7ƗN

N = 31.594.633; 31(4).594(2).633(5)

3 + 1 + 4 = 8; ─ 8 mod 7 + 59 + 4 + 2 = 71;

─ 71 mod 7 + 63 + 3 + 5 = 77; 7|77 e 7|N

DETERMINAÇÃO DO RESTO

Quando 7ƗN, conforme foi explicado, o resultado final (RF) é equivalente ao valor do resto multiplicado por 5. Como (3 . 5) mod 7 ≡ 1, para determinar o resto da divisão de N por 7 basta calcular: 3RF mod 7.

Para N = 293.526 o resultado final é igual a 66 e o cálculo do resto é (3 . 66) mod 7 ≡ 2 = resto da divisão de N por 7.

Exemplo adicional:

Para evitar números de mais de dois dígitos é útil expressar as dezenas de valor superior a 7 respectivamente: 7 por 0, 8 por 1 e 9 por 2, como no exemplo a seguir.

N = 823.951.634.223; 823(5).951(4).634(2).223(5)

12 + 3 + 5 = 20; ─ 20 mod 7 + 25 + 1 + 4 = 31;

─ 31 mod 7 + 63 + 4 + 2 = 73; ─ 3 mod 7 + 22 + 3 +5 = 34 = RF

Determinação do resto: ( 3 . 34 ) mod 7 ≡ 4 = resto da divisão de N por 7.