DETALHES DA SEGUNDA REGRA MOURA VELHO

Esta postagem se destina a esclarecer detalhes sobre a segunda regra Moura Velho de divisibilidade por 7 apresentada em vídeo recente.

Mudando-se o que deve ser mudado, esta regra funciona também para a divisibilidade por 11 e 13.

ALGORITMOS

Esta regra funciona mediante a aplicação coordenada de dois algoritmos aos pares de dígitos de N, deslocando-se alternadamente da direita para a esquerda ou vice-versa. O resultado final (RF) é um número de dois dígitos; se 7|RF então 7|N. Ela utiliza o inverso aditivo módulo 7 que corresponde à diferença entre um dado número e o múltiplo de 7 imediatamente superior. A utilização da linguagem comum simplifica a aplicação da regra porque, por exemplo
─ 26 mod 7 ≡ 2 pode ser expresso da seguinte forma: 26 para 28 é igual a 2.

Algoritmo 1: N = abc.def
a’ ≡ ( ─ cd mod 7 + a ) mod 7, cd é eliminado (substituído por zeros) → a’b00ef

Algoritmo 2: N = a’b00ef
e’ ≡ ( ─ a’b mod 7 + e ), a’b também é eliminado (substituído por zeros) 0000e’f
Se 7|e’f (RF) então 7|N

PORQUE FUNCIONA

Algoritmo 1)

─ cd mod 7 ≡ 6cd; 6cd é incluído na casa do milhar resultando numa adição de 6.000 cd; como cd é eliminado, há uma subtração de 1cd; 6.000 cd ─ cd = 5.999 cd
Como 7|5.999, a operação realizada não altera o valor de N em módulo 7. Observar que, como cd é subtraído, dois dígitos nulos devem substituir esses dígitos.

Algoritmo 2)

Restringindo N a N = a’b00e temos que ─ a’b mod 7 ≡ 6a’b mod 7 que é adicionado ao dígito da unidade. Como a’b é eliminado (subtraído) e ocupa a casa do milhar há uma subtração de 1.000 a’b, ou seja, aplicação do algoritmo resulta na seguinte operação: ─ 1.000 a’b + 6a’b = ─ 994 a’b.

Como 7|994, a operação realizada não altera o valor de N em módulo 7, observando que a’b deve ser substituído por zeros.
Conclusão: A aplicação coordenada e repetitiva dos dois algoritmos reduz N a um número de dois dígitos, sem alterar o valor de N em módulo 7. Se 7|RF (resultado final) então 7|N.

COMO FUNCIONA

N = 675.934; ( ─ 59 mod 7 + 6 ) mod 7 ≡ 3; 370034; ( ─ 37 mod 7 + 3 ) mod 7 ≡ 1; 000014; 7|14 e 7|N

Para números maiores, deve ser efetuada a contagem dos pares de N (n), incluindo como par o eventual dígito isolado à esquerda e calcular: n mod 3; se n mod 3 ≡ 1, o procedimento se inicia com a aplicação do segundo algoritmo ao primeiro par de dígitos de N; Se n mod 3 ≡ 0 ou 2, o procedimento se inicia com a aplicação do primeiro algoritmo a partir do segundo par de dígitos de N.

Essa providência é adotada para garantir que N seja sempre reduzido a um número de dois dígitos.

Observação: Os cálculos podem ser efetuados mentalmente com extrema rapidez, sem a utilização de qualquer tipo de anotação. As anotações efetuadas têm a única finalidade de ilustrar a aplicação da regra.

Exemplo:

N = 43.816.248.324 → 4|38|16|24|83|24

A contagem do número de pares (n) incluindo como par o dígito isolado à esquerda é igual a 6.

n = 6; 6 mod 3 ≡ 0

O procedimento se inicia com a aplicação do primeiro algoritmo a partir do segundo par de dígitos.

( ─ 38 mod 7 + 0 ) ≡ 4; → 440016248324; ( ─ 44 mod 7 + 1 ) ≡ 6;

→ 000066248324;
( ─ 66 mod 7 + 8 ) mod 7 ≡ 5; → 000000245324;

( ─ 53 mod 7 + 2 ) mod 7 ≡ 5; → 0000540024;

( ─ 54 mod 7 + 2 ) mod 7 ≡ 4; → 44; 7Ɨ44 e 7ƗN

DETERMINAÇÃO DO RESTO

A aplicação desta regra termina sempre no último ou no penúltimo par de dígitos. Se a aplicação terminar no último par de dígitos, para determinar o resto da divisão de N por 7, basta calcular: RF mod 7. Se terminar no penúltimo par, é necessário calcular: 2 . RF mod 7.

No caso de N = 43.816.248.234 a aplicação da regra terminou no último par de dígitos e o resultado final (RF) é igual a 44:

44 mod 7 ≡ 2 que é o resto da divisão de N por 7.

Exemplo adicional:

N = 129.325.634 → 1|29|32|56|34

( ─ 1 mod 7 + 3 ) mod 7 ≡ 2; 029225634;

( ─ 22 mod 7 + 2 ) mod 7 ≡ 1;
19005634; ( ─ 19 mod 7 + 5 ) mod 7 ≡ 0; 00000634;

( ─ 34 mod 7 + 0 ) mod 7 ≡ 1;

00001600; 7Ɨ16 e 7ƗN; 

Determinação do resto = ( 2 . 16 ) mod 7 ≡ 4; a aplicação da regra terminou no penúltimo par de dígitos, razão pela qual o resultado final foi multiplicado por 2 mod 7.