DETALHES DA QUARTA REGRA MOURA VELHO

Esta postagem se destina a esclarecer detalhes sobre a quarta regra Moura Velho de divisibilidade por 7 apresentada em vídeo recente.

Mudando-se o que deve ser mudado, esta regra funciona também para a divisibilidade por 13.

ALGORITMO

N = abc; abxc → 7|xc; S = ─ ab mod 7 + x; se 7|S então 7|N

O dígito “x” deve ser inserido mentalmente de maneira a formar com o dígito “c” um múltiplo de 7.

Para números maiores, este algoritmo deve ser aplicado repetitivamente, da esquerda para a difreita, a cada uma das classes de N; abc é eliminado e deslocado para a classe seguinte. Cada soma obtida deve ser adicionada ao número formado pelos dois dígitos iniciais da classe seguinte antes de cada nova aplicação do algoritmo.

Se 7|RF (resultado final) então 7|N. Se a classe inicial tiver menos de três dígitos o algoritmo deve ser aplicado parcialmente.

PORQUE FUNCIONA

De acordo com a tabuada em módulo 7 temos que:

─ ab mod 7 ≡ 6 ab mod 7 ≡ (4a + 6b) mod 7 e x mod 7 ≡ 2c mod 7.

A aplicação dessa regra equivale à obtenção da seguinte soma de produtos em módulo 7:

SP = 4a + 6b + 2c, sendo que 4, 6 e 2 correspondem a uma sequência de três multiplicadores determinados por Pascal. Desta forma, se 7|SP (soma dos produtos) então 7|N e se 7ƗSP então o resto da divisão de N por 7  é equivalente a 2RF mod 7 porque o multiplicador aplicado à unidade é igual a 2, conforme já foi destacado em regras anteriores.

No caso desta regra não há necessidade de aplicação do inverso aditivo módulo 7 na passagem de uma classe para outra porque qualquer número multiplicado por 2 mod 7 adicionado ao número formado pelo dois dígitos seguintes não altera o valor de N em módulo 7.

COMO FUNCIONA

Cada classe submetida à aplicação do algoritmo é eliminada; o resultado obtido é adicionado ao número formado pelos dois dígitos subsequentes antes de nova aplicação do algoritmo. O procedimento se repete até que seja alcançada a última classe de N. Se 7|RF (resultado final) então 7|N. Se 7ƗRF então RF ≡ 2 r (duas vezes o resto da divisão de N por 7).

Exemplos:

N = 324.261; 32(1)4; 26(2)1
 ─  32 mod 7 + 1 = 4; ─ (4 + 26) mod 7 + 2 = 7; 7|7 e 7|N

Em linguagem comum: 32 para 35 = 3; 3 + 1 = 4; 4 + 26 = 30; 30 para 35 = 5; 5 + 2 = 7

N = 389.453.322; 38(4)9;45(6)3;32(4)2

─ 38 mod 7 + 4 ≡ 8; ─ ( 8 + 45 ) mod 7 + 6 = 9; ─ ( 9 + 32 ) mod 7 + 4 = 5; 7Ɨ5 e 7ƗN

DETERMINAÇÃO DO RESTO

O resultado final (RF) da aplicação desta regra é equivalente a 2 vezes o resto (r) da divisão de N por 7. A determinação do resto é obtida mediante a seguinte operação:

( 4 . r ) mod 7 porque 4 r mod 7 ≡ r.

No caso de N = 389.453.322 foi obtido RF = 5.

Efetuando ( 4 . 5 ) mod 7 ≡ 6 é obtido o resto da divisão de N por 7.

Exemplo adicional:

N = 243.562; 24(6)3;56(4)2

─ 24 mod 7 + 6 = 10; ─ ( 10 + 56 ) mod 7 + 4 = 8; 7Ɨ8 e 7ƗN

RF = 8; ( 4 . 8 ) mod 7 ≡ 4 = resto da divisão de N por 7.