DETALHES DA QUINTA REGRA MOURA VELHO (BÔNUS)

Esta postagem se destina a esclarecer detalhes sobre a quinta regra Moura Velho de divisibilidade por 7 apresentada em vídeo, como bônus.

Mudando-se o que deve ser mudado, esta regra funciona também para a divisibilidade por 13.

ALGORITMO

N = abc; xabc → 7|xa; S = x + bc; se 7|S então 7|N

O dígito “x” deve ser inserido mentalmente de maneira a formar com o dígito “a” um múltiplo de 7.

Para números maiores, este algoritmo deve ser aplicado repetitivamente a cada uma das classes de N. O inverso aditivo em módulo 7 de cada soma (S) deve ser adicionado ao dígito “x” da classe seguinte e ao número formado pelos dois dígitos subsequentes. O procedimento deve ser aplicado até que a última classe de N seja alcançada. Se 7|RF (resultado final) então 7|N. Se a classe inicial tiver menos de três dígitos o algoritmo deve ser aplicado parcialmente.

PORQUE FUNCIONA

O dígito “x” é equivalente a 2a mod 7 e bc é equivalente a ( 3b + c ) mod 7. Então a soma dos produtos obtidos pela aplicação do algoritmo é: SP = 2a + 3b + c e os multiplicadores são respectivamente: 2, 3 e 1, exatamente os mesmos multiplicadores estabelecidos por Pascal em seu critério de divisibilidade por 7 (teorema 2.5) aos três dígitos da classe da unidade, conforme mencionado anteriormente.

A aplicação do inverso aditivo em módulo 7 a SP tem o seguinte resultado: ─ ( 2a + 3b + c ) mod 7 ≡ 5a + 4b 6c.

Para números maiores, a classe seguinte é formada pelos dígitos “def”. A aplicação do algoritmo à classe seguinte tem como resultado SP = 2d + 3e + f e a soma dos produtos referente às duas classes (abcdef) é SP = 5a + 4b + 6c + 2d + 3e + f cujos multiplicadores são: 5, 4, 6, 2, 3 e 1 que são exatamente os multiplicadores estabelecidos por Pascal quando criou seu critério de divisibilidade por 7.

Quando o número é composto por várias classes, a aplicação do inverso aditivo a cada uma das somas obtidas na passagem de uma classe para outra implica a repetição sucessiva dos multiplicadores estabelecidos por Pascal em seu critério de divisibilidade por 7:

...31546231546231

A aplicação dessa regra funciona porque equivale à aplicação em módulo 7 dos multiplicadores estabelecidos por Pascal em seu critério de divisibilidade por 7. Se 7|RF (resultado final) então 7|N; se 7ƗRF então RF mod 7 é equivalente ao resto da divisão de N por 7.

COMO FUNCIONA E DETERMINAÇÃO DO RESTO

Os cálculos podem ser efetuados mentalmente com extrema rapidez. As anotações foram efetuadas apenas para ilustrar a aplicação da regra.

N = 62.324.452; 62; (6)324; (1)452

─ 62 mod 7 + 6 + 24 = 31; ─ 31 mod 7 + 1 + 52 = 57; 7Ɨ57 e 7ƗN; RF = 57; 57 mod 7 ≡ 1 = resto da divisão de N por 7.

N = 362.458.923.312; (6)362; (1)458; (4)923; (6)312

6 + 62 = 68; ─ 68 mod 7 + 1 + 58 = 61; ─ 61 mod 7 + 4 + 23 =  29;   ─ 29 mod 7 + 6 + 12 = 24; 7Ɨ24 e 7ƗN; RF = 24;

 24 mod 7 ≡ 3 = resto da divisão de N por 7.