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OBSERVAÇÃO E
CONCLUSÕES
O material a seguir tem somente a
finalidade de ilustrar uma etapa de minha pesquisa e pode mostrar-se
interessante para auxiliar o trabalho de outros pesquisadores.
A observação de números múltiplos
de 7 com mais de dois dígitos permitiu a criação de meu primeiro método de
divisibilidade por 7 publicado na Internet. O número mais utilizado por mim foi
o 154, que é uma sequência dos multiplicadores de Pascal e permite a inclusão
de um número infinito de dígitos 5 entre 1 e 4 (1.554, 15.554, 155.554 etc.) mantendo-se
a divisibilidade por 7 dos novos números assim obtidos. Quando se utiliza
apenas a intuição, a repetição de algarismos pode induzir à criação de regras
incorretas com a aparência de corretas.
NÚMERO DE TRÊS
DÍGITOS
Minha primeira conclusão ao
observar o número 154 foi a de que, adicionando-se 1 a 5, cujo resultado deve
ser considerado como dezena e subtraindo-se 1 de 4, cujo resultado deve ser
considerado como unidade, o número resultante também é múltiplo de 7. O dígito
1 da centena deve ser eliminado.
De fato sendo a dezena = 1 + 5 e
a unidade = 4 - 1 o novo número 63 é múltiplo de 7. Isto ocorre com qualquer
número de três dígitos que seja múltiplo de 7.
A aplicação da Aritmética Modular
é extremamente útil para a obtenção rápida e precisa de resultados.
Novos exemplos, considerando d =
dezena e u = unidade, com a eliminação do dígito da centena:
N=462; d=(4 + 6) mod 7 ≡ 3; u =
(- 4 + 2) mod 7 ≡ 5 → 35
N=546;d=(5 + 4) mod 7 ≡ 2; u = (-
5 + 6) mod 7 ≡ 1 → 21
N=623;d=(6 + 2) mod 7 ≡ 1; u = (-
6 + 3) mod 7 ≡ 4 → 14
Algoritmo: d = (a + b) mod 7 e u
= (-a + c) mod 7
NÚMERO DE QUATRO
DÍGITOS
Com o acréscimo de mais um dígito
5, entre 1 e 4, a N este passa a ser:
N = 1.554 e, neste caso, para
reduzir N a um número de dois dígitos é necessário eliminar os dígitos da
unidade de milhar 1 e da centena 5; adicionar o número formado por esses dois
dígitos ao valor do dígito da dezena e subtraí-lo do valor do dígito da unidade,
com a utilização da Aritmética Modular.
N = 1.554; d = (15 + 5) mod 7 ≡
6; u = (-15 + 4)* mod 7 ≡ 3 → 63
N = 4.662; d = (46 + 6) mod 7 ≡
3; u = (-46 + 2) mod 7 ≡ 5 → 35
N = 6.223; d = (62 + 2) mod 7 ≡ 1;
u = (-62 + 3) mod 7 ≡ 4 → 14
*Na prática efetuamos
mentalmente: 15 para 21 é igual a 6; 6 mais 4 é igual a 10 e 10 menos - 7 é
igual a 3.
Algoritmo: d = (ab + c) mod 7 e u
= (- ab + d) mod 7
PORQUE FUNCIONA
Observe-se que a explicação do
porque funciona o método acima parte da constatação de que os multiplicadores
de Pascal se assemelham a pesos que são aplicados a notas atribuídas em certos
exames, em que há matérias que têm importância maior e a nota de cada matéria é
multiplicada pelo respectivo peso.
Em N = 1.554, utilizando-se a
sequência: 6, 2, 3 e 1, pode-se atribuir o peso 2 para o número formado pelos
dois dígitos iniciais*. Como esse número será excluído e tem o peso 2, sua
exclusão equivale a (15 . 2) mod 7 ≡ 2,
ou - 2; esse mesmo número será acrescentado ao dígito da dezena cujo peso é 3 e
equivale a (15 . 3) mod 7 ≡ 3, ou + 3 e finalmente, esse mesmo número será
subtraído do dígito da unidade cujo peso é 1 e equivale a (15 . 1) mod 7 ≡ 1,
ou - 1. O resultado da soma algébrica: - 2 + 3 - 1 = Ø demonstra que a
divisibilidade por 7 do número inicial de quatro dígitos permaneceu inalterada
após sua redução a um número de dois dígitos.
* Lembrar que (6 . 1 + 5 . 2) mod
7 ≡ (15 . 2) mod 7 ≡ 2
Para números mais extensos esse
procedimento permite a aplicação do algoritmo a cada grupo de quatro dígitos;
eliminando-se os dois primeiros dígitos a aplicação prossegue até ser obtido um
número de dois dígitos, da seguinte forma:
N = 964.124
2.324
A eliminação de 96:
(96 + 4) mod 7 ≡ 2
(- 96 mod 7 + 1) mod 7 ≡ 3
A eliminação de 23:
(23 + 2) mod 7 ≡ 4
(-23 mod 7 + 4) mod 7 ≡ 2
N foi reduzido ao número de dois
dígitos 42; então 7|42 e N
NÚMERO DE CINCO
DÍGITOS
Acrescentando-se mais um dígito 5
entre 1 e 4 obtemos um número mais extenso e outra variação de meu primeiro
método pode ser representada pelo seguinte algoritmo:
N = 15.554; d = (c + d) mod 7; u = [- (ab + c)
mod 7 + d] mod 7
Aplicação a N; d = (5 + 5) mod 7
≡ 3; u = [- (15 + 5) mod 7 + 4] mod 7 ≡ 5 → du = 35
Calculando mentalmente a
aplicação é assim:
d = 5 + 5 = 10; 10 - 7 = 3
15 + 5 = 20; 20 para 21 é igual a
1; 1 + 4 = 5
N = 46.144
d = (1 + 4) mod 7 ≡ 5; u = [- (46 + 1) mod 7 +
4] mod 7 ≡ 6
Número de dois dígitos = 56
N = 45.346
d = (3 + 4) mod 7 ≡ Ø ; u = [ - (45 + 3) mod 7
+ 6] mod 7 ≡ Ø
N foi reduzido a Ø, múltiplo de
7, confirmando-se a validade da aplicação do algoritmo para verificar a
divisibilidade de N por 7.
PORQUE FUNCIONA
Esta variação tem uma explicação
diferenciada das demais porque a multiplicação do valor de um dos dígitos foi
efetuada em duas etapas. Os multiplicadores de Pascal foram aplicados da
esquerda para a direita na seguinte ordem: 4, 6, 2, 3 e 1.
No primeiro exemplo, em que N =
46.144, tanto 46 quanto 1 foram multiplicados por 6 e adicionados ao dígito da
unidade. Entretanto o valor do dígito 1 deveria ser multiplicado por 2 e não
por 6; como depois de eliminado ele foi acrescentado ao valor do dígito 4 (da
dezena) cujo multiplicador é 3, então ele foi multiplicado cumulativamente por
6 e por 3 e (6 + 3) mod 7 ≡ 2, concluindo-se que o valor de cada dígito foi multiplicado
pelo respectivo multiplicador.
Essa maneira diferenciada de aplicar
os multiplicadores de Pascal talvez possa ser utilizada em relação a outras
regras de divisibilidade por 7 ou na criação de regras de divisibilidade por
outros números, principalmente por aqueles que pesquisam a divisibilidade por
números primos de dois dígitos.
No caso da aplicação do algoritmo
a N foi obtido o número de dois dígitos 84 ≡ 14, divisível por 7. Observe-se
que 45.346 - 45.269 = 77, também divisível por 7 e equivalente em mod 7 ao
número de dois dígitos obtido.
Exemplo da aplicação a um número
mais extenso:
N = 578.543
[- (57 + 8) mod 7 + 4] ≡ 2 → 8.523
(8 + 5 ) mod 7 ≡ 6
→
623; para números de três dígitos temos:
d = (6 + 2) mod 7 ≡ 1
e u = (- 6 + 3) mod 7 ≡ 4 → 14
MEU PRIMEIRO MÉTODO
Basicamente, meu primeiro método
consistia em efetuar a subtração sucessiva, em módulo 7, das somas dos dígitos
contíguos da centena e da dezena em uma primeira etapa para determinar o dígito
da dezena de um número de dois dígitos; na segunda etapa, para determinar o
dígito da unidade, é necessário efetuar a subtração sucessiva das somas dos
dígitos contíguos da centena e da unidade.
Exemplo:
N = 4.889.283
d = [- ( 8 + 8 ) mod 7 + ( 2 + 8)] mod 7 ≡ 1
Em linguagem comum: 8 + 8 = 16;
16 para 21 = 5; 5 + 2 + 8 = 15; 15 – 14 = 1
u = [- (4 + 8) mod 7 + (9 + 2)] mod 7 ≡
6; ( - 6 + 3 ) mod 7 ≡ 4
Em linguagem comum:
4 + 8 = 12 para 14 = 2; 2 + 9 + 2
= 13 para 14 = 1; 1 + 3 = 4
N foi reduzido ao número de dois
dígitos 14, logo ambos são divisíveis por 7.
A LIÇÃO DE UM MESTRE
As conclusões acima foram
totalmente baseadas na observação e na intuição. Todavia, com a publicação na
Internet de meu primeiro método, que é um pouco diferente deste aqui
apresentado, recebi uma verdadeira lição de um mestre em Matemática, o
Professor David Gross, da Universidade de Connecticut. Provocado por um e-mail
enviado por mim, ele analisou o meu primeiro método e teceu considerações
elogiosas ao meu trabalho. Aconselhou-me a procurar universidades brasileiras
em busca de orientação e apoio. Todavia, ele percebeu que minha explicação de
"porque o método funciona" deixava muito a desejar e elaborou um
trabalho de quatro páginas em que demonstrou porque meu método funciona com
fundamento no critério geral de divisibilidade de Pascal. A partir desse
momento meu trabalho, sem perder sua natureza intuitiva, passou a ser próximo
de científico.
A primeira regra verdadeira de
divisibilidade por 7 foi criada por mim, ainda de forma intuitiva, no ano de
2.005. Sem perceber que havia resolvido o problema elementar mais difícil da
história da Matemática, denominei essa regra como método. Na próxima postagem
será apresentada essa regra.
Cara,você é um gênio!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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