quarta-feira, 22 de agosto de 2012

5 - A observação de múltiplos de 7 com mais de dois dígitos

 




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OBSERVAÇÃO E CONCLUSÕES

O material a seguir tem somente a finalidade de ilustrar uma etapa de minha pesquisa e pode mostrar-se interessante para auxiliar o trabalho de outros pesquisadores.

A observação de números múltiplos de 7 com mais de dois dígitos permitiu a criação de meu primeiro método de divisibilidade por 7 publicado na Internet. O número mais utilizado por mim foi o 154, que é uma sequência dos multiplicadores de Pascal e permite a inclusão de um número infinito de dígitos 5 entre 1 e 4 (1.554, 15.554, 155.554 etc.) mantendo-se a divisibilidade por 7 dos novos números assim obtidos. Quando se utiliza apenas a intuição, a repetição de algarismos pode induzir à criação de regras incorretas com a aparência de corretas.

NÚMERO DE TRÊS DÍGITOS

Minha primeira conclusão ao observar o número 154 foi a de que, adicionando-se 1 a 5, cujo resultado deve ser considerado como dezena e subtraindo-se 1 de 4, cujo resultado deve ser considerado como unidade, o número resultante também é múltiplo de 7. O dígito 1 da centena deve ser eliminado.

De fato sendo a dezena = 1 + 5 e a unidade = 4 - 1 o novo número 63 é múltiplo de 7. Isto ocorre com qualquer número de três dígitos que seja múltiplo de 7.

A aplicação da Aritmética Modular é extremamente útil para a obtenção rápida e precisa de resultados.

Novos exemplos, considerando d = dezena e u = unidade, com a eliminação do dígito da centena:

N=462; d=(4 + 6) mod 7 ≡ 3; u = (- 4 + 2) mod 7 ≡ 5 → 35

N=546;d=(5 + 4) mod 7 ≡ 2; u = (- 5 + 6) mod 7 ≡ 1 → 21

N=623;d=(6 + 2) mod 7 ≡ 1; u = (- 6 + 3) mod 7 ≡ 4 → 14

Algoritmo: d = (a + b) mod 7 e u = (-a + c) mod 7

NÚMERO DE QUATRO DÍGITOS

Com o acréscimo de mais um dígito 5, entre 1 e 4, a N este passa a ser:

N = 1.554 e, neste caso, para reduzir N a um número de dois dígitos é necessário eliminar os dígitos da unidade de milhar 1 e da centena 5; adicionar o número formado por esses dois dígitos ao valor do dígito da dezena e subtraí-lo do valor do dígito da unidade, com a utilização da Aritmética Modular.

N = 1.554; d = (15 + 5) mod 7 ≡ 6; u = (-15 + 4)* mod 7 ≡ 3 → 63

N = 4.662; d = (46 + 6) mod 7 ≡ 3; u = (-46 + 2) mod 7 ≡ 5 → 35

N = 6.223; d = (62 + 2) mod 7 ≡ 1; u = (-62 + 3) mod 7 ≡ 4 → 14

*Na prática efetuamos mentalmente: 15 para 21 é igual a 6; 6 mais 4 é igual a 10 e 10 menos - 7 é igual a 3.

Algoritmo: d = (ab + c) mod 7 e u = (- ab + d) mod 7

PORQUE FUNCIONA

Observe-se que a explicação do porque funciona o método acima parte da constatação de que os multiplicadores de Pascal se assemelham a pesos que são aplicados a notas atribuídas em certos exames, em que há matérias que têm importância maior e a nota de cada matéria é multiplicada pelo respectivo peso.

Em N = 1.554, utilizando-se a sequência: 6, 2, 3 e 1, pode-se atribuir o peso 2 para o número formado pelos dois dígitos iniciais*. Como esse número será excluído e tem o peso 2, sua exclusão equivale a (15 . 2)  mod 7 ≡ 2, ou - 2; esse mesmo número será acrescentado ao dígito da dezena cujo peso é 3 e equivale a (15 . 3) mod 7 ≡ 3, ou + 3 e finalmente, esse mesmo número será subtraído do dígito da unidade cujo peso é 1 e equivale a (15 . 1) mod 7 ≡ 1, ou - 1. O resultado da soma algébrica: - 2 + 3 - 1 = Ø demonstra que a divisibilidade por 7 do número inicial de quatro dígitos permaneceu inalterada após sua redução a um número de dois dígitos.

* Lembrar que (6 . 1 + 5 . 2) mod 7 ≡ (15 . 2) mod 7 ≡ 2

Para números mais extensos esse procedimento permite a aplicação do algoritmo a cada grupo de quatro dígitos; eliminando-se os dois primeiros dígitos a aplicação prossegue até ser obtido um número de dois dígitos, da seguinte forma:

N = 964.124

           2.324

A eliminação de 96:

(96 + 4) mod 7 ≡ 2

(- 96 mod 7 + 1) mod 7 ≡ 3

A eliminação de 23:

(23 + 2) mod 7 4

(-23 mod 7 + 4) mod 7 2

N foi reduzido ao número de dois dígitos 42; então 7|42 e N

NÚMERO DE CINCO DÍGITOS

Acrescentando-se mais um dígito 5 entre 1 e 4 obtemos um número mais extenso e outra variação de meu primeiro método pode ser representada pelo seguinte algoritmo:

N = 15.554; d = (c + d) mod 7; u = [- (ab + c) mod 7 + d] mod 7

Aplicação a N; d = (5 + 5) mod 7 ≡ 3; u = [- (15 + 5) mod 7 + 4] mod 7 ≡ 5 → du = 35

Calculando mentalmente a aplicação é assim:

d = 5 + 5 = 10; 10 - 7 = 3

15 + 5 = 20; 20 para 21 é igual a 1; 1 + 4 = 5

N = 46.144

d = (1 + 4) mod 7 ≡ 5; u = [- (46 + 1) mod 7 + 4] mod 7 ≡ 6

Número de dois dígitos = 56

N = 45.346

d = (3 + 4) mod 7 ≡ Ø ; u = [ - (45 + 3) mod 7 + 6] mod 7 ≡ Ø

N foi reduzido a Ø, múltiplo de 7, confirmando-se a validade da aplicação do algoritmo para verificar a divisibilidade de N por 7.

PORQUE FUNCIONA

Esta variação tem uma explicação diferenciada das demais porque a multiplicação do valor de um dos dígitos foi efetuada em duas etapas. Os multiplicadores de Pascal foram aplicados da esquerda para a direita na seguinte ordem: 4, 6, 2, 3 e 1.

No primeiro exemplo, em que N = 46.144, tanto 46 quanto 1 foram multiplicados por 6 e adicionados ao dígito da unidade. Entretanto o valor do dígito 1 deveria ser multiplicado por 2 e não por 6; como depois de eliminado ele foi acrescentado ao valor do dígito 4 (da dezena) cujo multiplicador é 3, então ele foi multiplicado cumulativamente por 6 e por 3 e (6 + 3) mod 7 ≡ 2, concluindo-se que o valor de cada dígito foi multiplicado pelo respectivo multiplicador.

Essa maneira diferenciada de aplicar os multiplicadores de Pascal talvez possa ser utilizada em relação a outras regras de divisibilidade por 7 ou na criação de regras de divisibilidade por outros números, principalmente por aqueles que pesquisam a divisibilidade por números primos de dois dígitos.

No caso da aplicação do algoritmo a N foi obtido o número de dois dígitos 84 ≡ 14, divisível por 7. Observe-se que 45.346 - 45.269 = 77, também divisível por 7 e equivalente em mod 7 ao número de dois dígitos obtido.

Exemplo da aplicação a um número mais extenso:

N = 578.543

[-  (57 + 8) mod 7 + 4] 2 8.523

(8 + 5 ) mod 7 6 623; para números de três dígitos temos:

d = (6 + 2) mod 7 1 e u = (- 6 + 3) mod 7 4 14

MEU PRIMEIRO MÉTODO

Basicamente, meu primeiro método consistia em efetuar a subtração sucessiva, em módulo 7, das somas dos dígitos contíguos da centena e da dezena em uma primeira etapa para determinar o dígito da dezena de um número de dois dígitos; na segunda etapa, para determinar o dígito da unidade, é necessário efetuar a subtração sucessiva das somas dos dígitos contíguos da centena e da unidade.

Exemplo:

N = 4.889.283

d = [- ( 8 + 8 ) mod 7 + ( 2 + 8)] mod 7 1

Em linguagem comum: 8 + 8 = 16; 16 para 21 = 5; 5 + 2 + 8 = 15; 15 – 14 = 1

u =  [- (4 + 8) mod 7 + (9 + 2)] mod 7 6; ( - 6 + 3 ) mod 7 4

Em linguagem comum:

4 + 8 = 12 para 14 = 2; 2 + 9 + 2 = 13 para 14 = 1; 1 + 3 = 4

N foi reduzido ao número de dois dígitos 14, logo ambos são divisíveis por 7.

A LIÇÃO DE UM MESTRE

As conclusões acima foram totalmente baseadas na observação e na intuição. Todavia, com a publicação na Internet de meu primeiro método, que é um pouco diferente deste aqui apresentado, recebi uma verdadeira lição de um mestre em Matemática, o Professor David Gross, da Universidade de Connecticut. Provocado por um e-mail enviado por mim, ele analisou o meu primeiro método e teceu considerações elogiosas ao meu trabalho. Aconselhou-me a procurar universidades brasileiras em busca de orientação e apoio. Todavia, ele percebeu que minha explicação de "porque o método funciona" deixava muito a desejar e elaborou um trabalho de quatro páginas em que demonstrou porque meu método funciona com fundamento no critério geral de divisibilidade de Pascal. A partir desse momento meu trabalho, sem perder sua natureza intuitiva, passou a ser próximo de científico.

A primeira regra verdadeira de divisibilidade por 7 foi criada por mim, ainda de forma intuitiva, no ano de 2.005. Sem perceber que havia resolvido o problema elementar mais difícil da história da Matemática, denominei essa regra como método. Na próxima postagem será apresentada essa regra.

 


Um comentário:

  1. Cara,você é um gênio!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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