sexta-feira, 24 de agosto de 2012

4 - A Primeira verdadeira regra de divisibilidade por 7

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COMO FOI CRIADA

A primeira regra verdadeira de divisibilidade por 7 foi criada por mim no ano de 2.005. Denomino-a "regra verdadeira" porque sua aplicação a números de qualquer extensão dispensa a utilização de lápis e papel, podendo ser executada linearmente, da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita do número dado, com uma rapidez semelhante à da verificação da divisibilidade por 9; os cálculos são todos realizados mentalmente. Essa regra também surgiu da observação de números múltiplos de 7 compostos por três dígitos.
Se acrescentarmos (mentalmente) a um número de três dígitos divisível por 7, antes do dígito da centena e depois do dígito da unidade, dígitos que com eles formem números de dois dígitos divisíveis por 7 e efetuarmos a adição dos cinco dígitos assim obtidos, a soma resultará  sempre em um número divisível por 7.
Exemplos:
N = 154; (2) 154 (2) ; S = 2 + 1 + 5 + 4 + 2 = 14
N = 959; (4) 959 (1) ; S = 4 + 9 + 5 + 9 + 1 = 28
N = 651; (5) 651 (4) ; S = 5 + 6 + 5 + 1 + 4 = 21

PORQUE FUNCIONA
Esse procedimento funciona porque, de acordo com a tabuada em módulo 7, o valor do dígito da centena foi multiplicado por 3, o valor do dígito da dezena permaneceu inalterado (multiplicado por 1) e o dígito da unidade foi multiplicado por 5. Automaticamente foi aplicada uma seqüência de três multiplicadores do critério de Pascal. A soma dos produtos sempre resultou em um número múltiplo de 7. Como Pascal já demonstrou porque o critério criado por ele funciona, é suficiente demonstrar que a regra foi aplicada de acordo com esse critério. A única diferença, introduzida  por mim, é que não foi obedecida, rigorosamente, a seqüência originalmente estabelecida, que se inicia com o multiplicador 1 para a unidade. 
O IMPASSE
A regra criada mediante a observação de números múltiplos de 7 compostos por três dígitos funcionou muito bem para números de até três dígitos, mas como seria a aplicação dessa regra para números mais extensos?
Tentei repetir a regra para cada grupo de três dígitos de um número extenso, divisível por 7, mas observei que, no conjunto, o resultado obtido era incorreto.
Depois de muita insistência, certo dia resolvi inverter o resultado obtido para cada grupo de três dígitos, na passagem de um grupo para outro, e finalmente foi encontrada a solução para o impasse em que me encontrava. Utilizando o que dei a denominação de "oposto modular" pela inversão do sinal de cada soma, de positivo para negativo, observei que os resultados obtidos passaram a ser sempre corretos.
É importante observar que o acréscimo de dígito à esquerda somente ocorre quando o número submetido à regra contiver o dígito da centena; caso contrário, nenhum dígito é acrescentado à esquerda.
Para facilitar a criação de um algoritmo para essa regra representaremos por (x) o dígito acrescentado antes do dígito da centena e por (y) o digito acrescentado após a unidade.

APLICAÇÃO DA REGRA A NÚMEROS EXTENSOS
Após a solução do impasse tornou-se possível a aplicação da regra a números de qualquer extensão, mediante a utilização sucessiva do seguinte algoritmo:
 S = - ((x) + a + b + c +(y) ) mod 7
Exemplos:

N = 46.459; - (4 + 6 + (3)) mod 7 ≡ 1; - (1 + (1) + 4 + 5 + 9 +(1)) mod 7 ≡ Ø

 N = 18.868.913; - (1 + 8 +(4)) mod 7 ≡ 1; - (1 + (2) + 8 + 6 + 8 +(4)) mod 7 ≡ 6; (6 + (4) + 9 + 1 + 3 + (5))mod 7 ≡ Ø
Observações: 1 - Se durante a aplicação da regra, ao final de uma classe, for obtida uma soma correspondente a um múltiplo de 7 isto significa que o número constituído pelas classes já consideradas é um múltiplo de 7; e a aplicação da regra deve prosseguir normalmente, a partir da classe seguinte.

2 - Uma pessoa habilidosa com números pode ignorar os algarismos 7 e Ø, ou números de dois dígitos múltiplos de 7, na aplicação da regra.
 3 - Na aplicação da regra a um número extenso, não há necessidade de utilizar o "oposto modular" ao final da última classe.

4 - A regra apresentada, mudando o que deve ser mudado, também se aplica com a mesma rapidez à verificação da divisibilidade de um número inteiro por 13.

EXEMPLO DE DIVISIBILIDADE POR 13
N = 891.401.446
- ((7) + 8 + 9 + 1 + (3)) mod 13 ≡ 11; - ( 11 + (10) + 4 + 1 + (3)) mod 13 ≡ 10; ( 10 + (10) + 4 + 4 + 6 + (5)) mod 7 ≡ 39 ≡ Ø; 13|39 e N
Como se observa, o algoritmo permanece inalterado, passando-se a utilizar o módulo 13. A aplicação do algoritmo em certos casos implica que (x) seja composto por dois dígitos.
A UTILIZAÇÃO DO OPOSTO MODULAR
 A utilização do oposto modular, mediante a inversão do sinal obtido ao final de cada soma, foi eficiente porque, conforme já foi demonstrado, em um número múltiplo de 7 composto por várias classes, há equivalência em módulo 7 entre as somas algébricas das classes, alternando-se os sinais de "+" e de "-" para cada classe.
 Como o valor de cada classe é reduzido à sua expressão equivalente em módulo 7, a tarefa de alternar os sinais "+" e "-" é facilitada pela utilização da Aritmética Modular. A alternância de sinais também já foi demonstrada anteriormente. 

 A REPERCUSSÃO AO ANÚNCIO DA DESCOBERTA
 Na época em que publiquei  esta regra em meu site na Internet, dei-lhe a denominação de “Método Moura Velho de Divisibilidade por 7” porque não percebi que, na realidade, se tratava de uma regra.
 Como costumava fazer, enviei e-mails para diversos departamentos de Matemática de Universidades brasileiras e estrangeiras, para vários sites especializados em Matemática e vários especialistas em Teoria dos Números, principalmente estrangeiros. Enviei dois artigos para a Revista do Professor de Matemática sendo que um deles, ou ambos, continha a regra aqui apresentada. Tentei o contato com políticos, articulistas de jornais, apresentadores de TV, o próprio MEC, emissoras de TV, tudo em vão.
 Um dos retornos, de um Ph.D. norte-americano, me surpreendeu de maneira particularmente desagradável. Ele punha em dúvida a autoria de meu método; retruquei afirmando que não estava fazendo nada escondido e que retiraria o método de meu site se alguém comprovasse que ele houvera sido criado por outra pessoa; ele indagou como eu me sentiria se meu método não fosse utilizado "por ser muito avançado para a época" e eu soubesse que alguém no futuro se apoderasse dele e o apresentasse como seu; ignorei a questão da autoria e demonstrei que meu método é tão simples que a filha de nossa empregada, aluna do ensino fundamental da rede pública, o aprendeu em questão de poucos minutos e o aplicou a vários números de 8 a 12 dígitos sem cometer um único erro. A discussão se encerrou quando ele, esquecendo-se totalmente do tema que se encontrava em debate, pediu-me que eu perguntasse à filha de minha empregada se ela aprendeu a efetuar a multiplicação Lattice que é muito popular no ensino fundamental norte-americano. Minha conclusão foi a de que ele apreciou imensamente o meu método e ficou muito aborrecido por não tê-lo criado.
 Mais surpreendente, para mim, foi a recusa de publicação de meus artigos pela Revista do Professor de Matemática, com a seguinte justificativa: "O Comitê acha que a RPM, se insistir no assunto, pode passar uma imagem (falsa) de que a divisibilidade por 7 é um tema de importância especial". Além de não publicar meus artigos, sem minha autorização, passaram-nos para outro setor da revista.
Houve vários retornos agradáveis, com elogios mas que em nada contribuiram para a divulgação de minha regra. Em relação ao primeiro método por mim criado houve uma referência elogiosa no site :

http://ken.duisenberg.com/potw/archive/arch05/050902sol.html

 Para finalizar, comentarei o feedback de um Ph.D. em Matemática que compõe um grupo de doctors que se propõe a esclarecer questões de Matemática. Submeti a ele este método (regra)  e recebi a resposta de que ele considerou meu método "interessante, mas de pouca utilidade ..."; Afirmou que tem dificuldade em memorizar algoritmos referentes a regras de divisibilidade e que se utiliza de um simples algoritmo para testar a divisibilidade de qualquer número não compreendido nos intervalos entre 2 a 6 e entre 8 a 11. Eis o seu algoritmo, aplicado ao número 4.155.809:
4155809
 4155830
 415583
 415590
 41559  
 41510  
 4151    
 4130    
 413       
 420       
 42

 Interessante e, sem comentários ...
O mesmo número, com a aplicação de minha regra:

N = 4.155.809
4 + (2)= 6; 6 para 7 = 1; 1 +(2) + 1 + 5 + 5 + (6) = 20; 20 para 21 = 1;
1 +( 2) + 8 + 9 + 1 = 21; 7|21 e 7|N

Após o feedback do PH.D, confessando ter dificuldade em memorizar um algoritmo que uma criança memorizou e aplicou com facilidade para números mais extensos do que aquele submetido a ele, pensei que o nosso ensino público não é tão ruim quando afirmam.

Penso que a utilização rigorosa de linguagem matemática em relação a questões elementares impede uma melhor apreciação dessas questões. Observe-se que a expressão:

- (8 + 5) mod 7 + 6 se torna mais simples, e sua resolução mais rápida, com a utilização de linguagem comum: 8 + 5 = 13 para 14 = 1; 1 + 6 = 7, ou zero em módulo 7.

Minha regra, visualmente, parece complexa mas com a utilização da linguagem comum ela se torna simples e rápida.

Nosso próximo assunto será a criação de regras de divisibilidade por 7.
 

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