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COMO FOI CRIADA
A primeira regra verdadeira de divisibilidade por 7 foi
criada por mim no ano de 2.005. Denomino-a "regra verdadeira" porque
sua aplicação a números de qualquer extensão dispensa a utilização de lápis e
papel, podendo ser executada linearmente, da direita para a esquerda ou da
esquerda para a direita do número dado, com uma rapidez semelhante à da
verificação da divisibilidade por 9; os cálculos são todos realizados
mentalmente. Essa regra também surgiu da observação de números múltiplos de 7
compostos por três dígitos.
Se acrescentarmos (mentalmente) a um número de três dígitos
divisível por 7, antes do dígito da centena e depois do dígito da unidade,
dígitos que com eles formem números de dois dígitos divisíveis por 7 e
efetuarmos a adição dos cinco dígitos assim obtidos, a soma resultará sempre em um número divisível por 7.
Exemplos: N = 154; (2) 154 (2) ; S = 2 + 1 + 5 + 4 + 2 = 14
N = 959; (4) 959 (1) ; S = 4 + 9 + 5 + 9 + 1 = 28
N = 651; (5) 651 (4) ; S = 5 + 6 + 5 + 1 + 4 = 21
PORQUE FUNCIONA
Esse procedimento funciona porque, de acordo com a tabuada
em módulo 7, o valor do dígito da centena foi multiplicado por 3, o valor do
dígito da dezena permaneceu inalterado (multiplicado por 1) e o dígito da
unidade foi multiplicado por 5. Automaticamente foi aplicada uma seqüência de
três multiplicadores do critério de Pascal. A soma dos produtos sempre resultou
em um número múltiplo de 7. Como Pascal já demonstrou porque o critério criado
por ele funciona, é suficiente demonstrar que a regra foi aplicada de acordo
com esse critério. A única diferença, introduzida por mim, é que não foi obedecida,
rigorosamente, a seqüência originalmente estabelecida, que se inicia com o
multiplicador 1 para a unidade.
O IMPASSE
A regra criada mediante a observação de números múltiplos de
7 compostos por três dígitos funcionou muito bem para números de até três
dígitos, mas como seria a aplicação dessa regra para números mais extensos?
Tentei repetir a regra para cada grupo de três dígitos de um
número extenso, divisível por 7, mas observei que, no conjunto, o resultado obtido era
incorreto.
Depois de muita insistência, certo dia resolvi inverter o
resultado obtido para cada grupo de três dígitos, na passagem de um grupo para outro, e finalmente foi encontrada a
solução para o impasse em que me encontrava. Utilizando o que dei a denominação
de "oposto modular" pela inversão do sinal de cada soma, de positivo
para negativo, observei que os resultados obtidos passaram a ser sempre
corretos.
É importante observar que o acréscimo de dígito à esquerda
somente ocorre quando o número submetido à regra contiver o dígito da centena;
caso contrário, nenhum dígito é acrescentado à esquerda.
Para facilitar a criação de um algoritmo para essa regra
representaremos por (x) o dígito acrescentado antes do dígito da centena e por (y) o digito acrescentado após a unidade.
APLICAÇÃO DA REGRA A NÚMEROS EXTENSOS
Após a solução do impasse tornou-se possível a aplicação da
regra a números de qualquer extensão, mediante a utilização sucessiva do
seguinte algoritmo:
N = 46.459; - (4 + 6 + (3)) mod 7 ≡ 1; - (1 + (1) + 4 + 5 + 9 +(1)) mod 7 ≡ Ø
Observações: 1 - Se durante a aplicação da regra, ao final
de uma classe, for obtida uma soma correspondente a um múltiplo de 7 isto
significa que o número constituído pelas classes já consideradas é um múltiplo
de 7; e a aplicação da regra deve prosseguir normalmente, a partir da classe
seguinte.
2 - Uma pessoa habilidosa com números pode ignorar os
algarismos 7 e Ø, ou números de dois dígitos múltiplos de 7, na aplicação da
regra.
3 - Na aplicação da
regra a um número extenso, não há necessidade de utilizar o "oposto
modular" ao final da última classe.
4 - A regra apresentada, mudando o que deve ser mudado, também se aplica com a mesma rapidez à verificação da divisibilidade de um número inteiro por 13.
EXEMPLO DE DIVISIBILIDADE POR 13
N = 891.401.446
- ((7) + 8 + 9 + 1 + (3)) mod 13 ≡ 11; - ( 11 + (10) + 4 + 1 + (3)) mod 13 ≡ 10; ( 10 + (10) + 4 + 4 + 6 + (5)) mod 7 ≡ 39 ≡ Ø; 13|39 e N
Como se observa, o algoritmo permanece inalterado, passando-se a utilizar o módulo 13. A aplicação do algoritmo em certos casos implica que (x) seja composto por dois dígitos.
A UTILIZAÇÃO DO OPOSTO MODULAR
A utilização do
oposto modular, mediante a inversão do sinal obtido ao final de cada soma, foi
eficiente porque, conforme já foi demonstrado, em um número múltiplo de 7
composto por várias classes, há equivalência em módulo 7 entre as somas
algébricas das classes, alternando-se os sinais de "+" e de
"-" para cada classe.
Como o valor de cada
classe é reduzido à sua expressão equivalente em módulo 7, a tarefa de alternar
os sinais "+" e "-" é facilitada pela utilização da
Aritmética Modular. A alternância de sinais também já foi demonstrada
anteriormente.
A REPERCUSSÃO AO
ANÚNCIO DA DESCOBERTA
Na época em que
publiquei esta regra em meu site na
Internet, dei-lhe a denominação de “Método Moura Velho de Divisibilidade por 7”
porque não percebi que, na realidade, se tratava de uma regra.
Como costumava fazer,
enviei e-mails para diversos departamentos de Matemática de Universidades
brasileiras e estrangeiras, para vários sites especializados em Matemática e
vários especialistas em Teoria dos Números, principalmente estrangeiros. Enviei
dois artigos para a Revista do Professor de Matemática sendo que um deles, ou
ambos, continha a regra aqui apresentada. Tentei o contato com políticos, articulistas de
jornais, apresentadores de TV, o próprio MEC, emissoras de TV, tudo em vão.
Um dos retornos, de
um Ph.D. norte-americano, me surpreendeu de maneira particularmente
desagradável. Ele punha em dúvida a autoria de meu método; retruquei afirmando
que não estava fazendo nada escondido e que retiraria o método de meu site se alguém comprovasse que ele houvera sido criado por outra pessoa; ele indagou como eu me sentiria se meu
método não fosse utilizado "por ser muito avançado para a época" e eu
soubesse que alguém no futuro se apoderasse dele e o apresentasse como seu;
ignorei a questão da autoria e demonstrei que meu método é tão simples que a
filha de nossa empregada, aluna do ensino fundamental da rede pública, o
aprendeu em questão de poucos minutos e o aplicou a vários números de 8 a 12
dígitos sem cometer um único erro. A discussão se encerrou quando ele,
esquecendo-se totalmente do tema que se encontrava em debate, pediu-me que eu
perguntasse à filha de minha empregada se ela aprendeu a efetuar a
multiplicação Lattice que é muito popular no ensino fundamental
norte-americano. Minha conclusão foi a de que ele apreciou imensamente o meu
método e ficou muito aborrecido por não tê-lo criado.
Mais surpreendente,
para mim, foi a recusa de publicação de meus artigos pela Revista do Professor
de Matemática, com a seguinte justificativa: "O Comitê acha que a RPM, se
insistir no assunto, pode passar uma imagem (falsa) de que a divisibilidade por
7 é um tema de importância especial". Além de não publicar meus artigos,
sem minha autorização, passaram-nos para outro setor da revista.
Houve vários retornos agradáveis, com elogios mas que em
nada contribuiram para a divulgação de minha regra. Em relação ao primeiro
método por mim criado houve uma referência elogiosa no site :
4155830
415583
415590
41559
41510
4151
4130
413
420
42
N = 4.155.809
4 + (2)= 6; 6 para 7 = 1; 1 +(2) + 1 + 5 + 5 + (6) = 20; 20 para
21 = 1;1 +( 2) + 8 + 9 + 1 = 21; 7|21 e 7|N
Após o feedback do PH.D, confessando ter dificuldade em memorizar um algoritmo que uma criança memorizou e aplicou com facilidade para números mais extensos do que aquele submetido a ele, pensei que o nosso ensino público não é tão ruim quando afirmam.
Penso que a utilização rigorosa de linguagem matemática em relação a questões elementares impede uma melhor apreciação dessas questões. Observe-se que a expressão:
- (8 + 5) mod 7 + 6 se torna mais simples, e sua resolução mais rápida, com a utilização de linguagem comum: 8 + 5 = 13 para 14 = 1; 1 + 6 = 7, ou zero em módulo 7.
Minha regra, visualmente, parece complexa mas com a utilização da linguagem comum ela se torna simples e rápida.
Nosso próximo assunto será a criação de regras de divisibilidade por 7.
Penso que a utilização rigorosa de linguagem matemática em relação a questões elementares impede uma melhor apreciação dessas questões. Observe-se que a expressão:
- (8 + 5) mod 7 + 6 se torna mais simples, e sua resolução mais rápida, com a utilização de linguagem comum: 8 + 5 = 13 para 14 = 1; 1 + 6 = 7, ou zero em módulo 7.
Minha regra, visualmente, parece complexa mas com a utilização da linguagem comum ela se torna simples e rápida.
Nosso próximo assunto será a criação de regras de divisibilidade por 7.
eu preciso da do número dois tres cinco e dez
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