14, 21, 35, 42; 56 ...
O valor do dígito da dezena em módulo 7 corresponde sempre ao dobro do valor do dígito da unidade.
14→(2 . 4) mod 7 ≡ 1; 21→(2 . 1) mod 7 ≡ 2; 35→(2 . 5) mod 7 ≡ 3
42 → (2 . 2) mod 7 ≡ 4; 56 → (2 . 6) mod 7 ≡ 5 ...
Quando for necessário multiplicar mentalmente um número de um dígito por 2, basta verificar qual é o dígito que colocado à sua esquerda forma com ele um número de dois dígitos múltiplo de 7; para essa finalidade basta conhecer a tabuada do 7. É um procedimento extremamente rápido. Observe-se que se esse número de um dígito for o 9, imediatamente vem à mente de uma pessoa que conhece a tabuada do 7, que o dígito que deve ser colocado à esquerda do 9 é o 4. De fato, (9 . 2) mod 7 ≡ 4.
Para multiplicar um número dado por 3 em módulo 7, basta efetuar a adição dos valores dos dois dígitos obtidos conforme o procedimento mencionado para a multiplicação por 2 em módulo 7. De fato, para multiplicar 6 por 3 em módulo 7, basta adicionar 5 a 6 em módulo 7: (5 + 6) mod 7 ≡ 4 e (6 . 3) mod 7 ≡ 4.
A multiplicação de um número de um dígito por 4 parte novamente da observação de números inteiros múltiplos de 7 compostos por dois dígitos:
14, 21, 35, 42; 56 ...
O valor do dígito da unidade em módulo 7 corresponde sempre ao quádruplo do valor do dígito da dezena.
14→(4 . 1) mod 7 ≡ 4; 21→ (4 . 2) mod 7 ≡ 1; 35 (4 . 3) mod 7 ≡ 5
42→(4 . 4) mod 7 ≡ 2; 56→ (4 . 5) mod 7 ≡ 6 ...
Então, para multiplicar o valor de um número de um dígito por 4, mentalmente e com rapidez, basta verificar o dígito que colocado à esquerda desse número forma, com ele, um número que seja múltiplo de 7.
Se esse número for o 9, como o dígito que colocado à direita de 9 forma com ele um número de dois dígitos múltiplo de 7 é o 1, sabemos que (9 . 4) mod 7 ≡ 1.
Então, para multiplicar um número por 5, basta fazer a adição conforme demonstrado em relação à multiplicação por 3.
Se o número de um dígito for o 9, sabendo-se que o dígito colocado à sua direita é o 1, concluimos que: (9 . 5) mod 7 ≡ 3 porque (9 + 1) mod 7 ≡ 3.
A tabuada se completa concluindo-se que um número multiplicado por 1 é equivalente a ele mesmo em módulo 7 e que um número negativo de qualquer extensão equivale a 6 vezes o seu valor em módulo 7, completa-se a tabuada em módulo 7. Por outro lado, qualquer número multiplicado por 7 é equivalente a Ø.
Apresentaremos agora a tabuada em módulo 7 referente à multiplicação dos números de Ø a 6 por 8, observando que 2 é colocado à esquerda de 8 para formar um número múltiplo de 7 e 4 é colocado à sua direita para a mesma finalidade.
(Ø ou 7 . 8) mod 7 ≡ Ø; (1 . 8) mod 7 ≡ 1; (2 . 8 ) mod 7 ≡ 2;
(3 . 8) mod 7 ≡ 3; (4 . 8) mod 7 ≡ 4; (5 . 8) mod 7 ≡ 5 e
(6 . 8) mod 7 ≡ 6.
Resumo da tabuada, para números diferentes de Ø e 1:
2 . 8 → (2)8 →
5 . 8 → (8 + 4) mod 7 ≡ 5 e 6 . 8 → - 8 mod 7 = 6.
Observe-se que não é necessário muito esforço para memorizar a tabuada em módulo 7.
OUTRAS APLICAÇÕES DA ARITMÉTICA MODULAR
Além da tabuada em módulo 7, envolvendo números de apenas um dígito, a Aritmética Modular pode ser útil para a multiplicação de números de mais de um dígito por 6.
Para multiplicar um número de dois dígitos por 6 basta tomar o seu valor com o sinal negativo em módulo 7.
Para N = 48 → - 48 mod 7 ≡ 1; 48 . 6 mod 7 ≡ 1
N = 58 → - 58 mod 7 ≡ 5; 58 . 6 mod 7 ≡ 5
N = 3.246 → - 3.246 mod 7 ≡ 2; 3246 . 6 mod 7 ≡ 2
Na realidade, números negativos (N) de qualquer extensão em módulo x equivalem a (x - 1) N mod x.
- N mod x ≡ [(x - 1) N] mod x → x . N mod x - N mod x, como
x . N mod x ≡ Ø, confirma-se a afirmação anterior.
De fato se N = 4 e x = 7; -4 mod 7 ≡ [(7 - 1) 4] mod 7; 28 mod 7 - 4 mod 7 ≡ - 4 mod 7 ≡ 3 ≡ (6 . 4) mod 7
Observar que 28 mod 7 ≡ Ø e que a equação acima é válida para qualquer N e qualquer x.
A SOMA ALGÉBRICA COM SINAIS "+" e "-" ALTERNADOS.
A soma algébrica das várias classes que compõem um número múltiplo de 7, de qualquer extensão, alternando-se os sinais "+" e "-" para cada classe, resulta sempre em um múltiplo de 7 ou em Ø.
N = 46.354; 354 - 46 = 308; 7|308 e N.
N = 17.725.988; + 17 - 725 + 988 = 280; 7|280 e N.
Essa característica é importantíssima porque a Aritmética Modular permite que esse cálculo seja efetuado automáticamente, da esquerda para a direita ou vice-versa.
Como será demonstrado, na aplicação das regras de divisibilidade por 7 que serão apresentadas, o número correspondente a cada classe será reduzido à sua expressão em módulo 7.
Apesar de não ser exatamente o que ocorrerá, suponhamos que a aplicação de uma regra qualquer tenha resultado, em relação ao segundo exemplo acima, os seguintes números representados em módulo 7 para cada uma das três classes que compõem N: 10, 4 e 15. À medida que cada número é obtido ele é subraído do número correspondente à classe seguinte da seguinte forma:
- 10 mod 7 + 4 ≡ 8; - 8 mod 7 + 15 ≡ 21 ou
- 15 mod 7 + 4 ≡ 10; - 10 mod 7 + 10 ≡ 14
Os números 10, 4 e 15 são formados à medida que a regra vai sendo aplicada, de forma linear, ao longo do número submetido à regra; nesse procedimento não é necessário saber que cada uma das classes foi reduzida aos números mencionados.
COMO MULTIPLICAR N = AB POR 2, 3, 4 E 5 A PARTIR DO RESULTADO DA MULTIPLICAÇÃO PO 6
Seja N = 38; - 38 mod 7 ≡ 4; (6 . 38 mod 7) ≡ 4
(5 . 6) mod 7 ≡ 2 → [5 . (-38 mod 7) mod 7]≡6 → (2 . 38) mod 7≡6
(4 . 6) mod 7 ≡ 3 → [4 . (-38 mod 7) mod 7]≡2 → (3 . 38) mod 7≡2
(3 . 6) mod 7 ≡ 4 →[3 . (-38 mod 7) mod 7]≡5 → (4 . 38) mod 7≡5
(2 . 6) mod 7 ≡ 5 →[2 . (-38 mod 7) mod 7]≡1 → (5 . 38) mod 7≡1
Este recurso será melhor compreendido quando for aplicado na criação de regras de divisibilidade por 7. Por ora basta apenas compreender como ele funciona.
Observação final: Tudo o que foi explicado em relação à tabuada em módulo 7 permite também efetuar algumas divisões rápidas em módulo 7, principalmente de pequenos números.
SUBTRAÇÕES SUCESSIVAS FRACIONADAS
Utilizando-se a Aritmética Modular há uma forma de reduzir um número extenso a um número de apenas dois dígitos, através dos seguintes algoritmos:
Sendo N = a1b1c1.a2b2c2. a3b 3c3
Para obter o dígito da dezena: [ - ( - a1b1 mod 7 + a2b2 mod 7) + a3b3] mod 7
Para obter o dígito da unidade: [ - ( - c1 mod 7 + c2 mod 7) + c3] mod 7
No exemplo seguinte será utilizado um número composto por três classes, mas o procedimento funciona para números de qualquer extensão.
N = 325.166.534
dezena: - (- 32 mod 7 + 16) mod 7 ≡ 2; (2 + 53) mod 7 ≡ 6
unidade: - (- 5 mod 7 + 6) mod 7 ≡ 6; (6 + 4) mod 7 ≡ 3
Número obtido: 63; 7|63 e 7|N
Caso a primeira classe tenha menos de três dígitos, os dígitos ausentes são iguais a zero.
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